3 다양한 정도. 거듭제곱 또는 지수 방정식
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먼저 권력의 기본 공식과 그 속성을 기억해 봅시다.
숫자의 곱 ㅏ자체적으로 n 번 발생하면 이 표현식을 a a … a=an으로 쓸 수 있습니다.
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (an) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. an / a m = an - m
거듭제곱 또는 지수 방정식– 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.
지수 방정식의 예:
이 예에서는 숫자 6이 밑수이며 항상 아래쪽에 있고 변수는 엑스학위 또는 지표.
지수 방정식의 더 많은 예를 들어보겠습니다.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
이제 지수 방정식이 어떻게 해결되는지 살펴 보겠습니다.
간단한 방정식을 생각해 봅시다:
2 x = 2 3
이 예는 머리 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국, 왼쪽과 오른쪽이 같아지려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정을 공식화하는 방법을 살펴보겠습니다.
2 x = 2 3
엑스 = 3
그러한 방정식을 풀기 위해 우리는 제거했습니다. 동일한 근거(즉, 2) 남은 것을 적었습니다. 이것이 도입니다. 우리는 우리가 찾고 있던 답을 얻었습니다.
이제 우리의 결정을 요약해 보겠습니다.
지수 방정식을 풀기 위한 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 이유가 동일하지 않은 경우 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같아진 후, 같게 하다학위를 취득하고 결과로 나온 새로운 방정식을 푼다.
이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
간단한 것부터 시작해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽의 밑변은 숫자 2와 같습니다. 이는 밑변을 버리고 그 각도를 동일시할 수 있음을 의미합니다.
x+2=4 가장 간단한 방정식이 얻어집니다.
x=4 – 2
x=2
답: x=2
다음 예에서는 밑수가 3과 9로 서로 다른 것을 볼 수 있습니다.
3 3x - 9 x+8 = 0
먼저 9를 오른쪽으로 이동하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
이제 동일한 기반을 만들어야 합니다. 우리는 9=3 2라는 것을 알고 있습니다. 거듭제곱 공식(an) m = a nm을 사용해 보겠습니다.
3 3x = (3 2) x+8
9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16을 얻습니다.
3 3x = 3 2x+16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 같다는 것이 분명합니다. 이는 밑변을 버리고 각도를 동일시할 수 있음을 의미합니다.
3x=2x+16 가장 간단한 방정식을 얻습니다.
3x - 2x=16
x=16
답: x=16.
다음 예를 살펴보겠습니다.
2 2x+4 - 10 4x = 2 4
먼저, 베이스 2번과 4번을 살펴보겠습니다. 그리고 우리는 그것들이 동일해야 합니다. 우리는 공식 (an) m = a nm을 사용하여 4개를 변환합니다.
4 x = (2 2) x = 2 2x
그리고 우리는 또한 하나의 공식 a n a m = a n + m을 사용합니다:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
방정식에 추가:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 하지만 다른 숫자 10과 24는 우리를 귀찮게 합니다. 자세히 살펴보면 왼쪽에 2 2x가 반복되어 있음을 알 수 있습니다. 답은 다음과 같습니다. 괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.
2 2x (2 4 - 10) = 24
괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
전체 방정식을 6으로 나눕니다.
4=2 2를 상상해 봅시다:
2 2x = 2 2 염기는 동일하므로 이를 버리고 각도를 동일시합니다.
2x = 2는 가장 간단한 방정식입니다. 2로 나누면 이렇게 됩니다.
엑스 = 1
답: x = 1.
방정식을 풀어 봅시다:
9 x – 12*3 x +27= 0
변환해보자:
9 x = (3 2) x = 3 2x
우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0
우리의 밑수는 동일하며 3과 같습니다. 이 예에서 처음 3개의 차수는 두 번째 차수(단지 x)의 두 배(2x)임을 알 수 있습니다. 이런 경우에는 해결할 수 있습니다. 교체 방법. 숫자를 가장 작은 각도로 바꿉니다.
그러면 3 2x = (3 x) 2 = t 2
방정식의 모든 x 거듭제곱을 t로 바꿉니다.
티 2 - 12티+27 = 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
티 1 = 9
t2 = 3
변수로 돌아가기 엑스.
t 1을 취하십시오:
티 1 = 9 = 3x
그건,
3×=9
3×=3 2
x 1 = 2
루트가 하나 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다:
티 2 = 3 = 3 x
3×=3 1
x 2 = 1
답: x 1 = 2; x 2 = 1.
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학위 공식방정식과 부등식을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에 사용됩니다.
숫자 씨~이다 N-숫자의 거듭제곱 ㅏ언제:
학위를 사용한 작업.
1. 동일한 밑수에 각도를 곱하면 표시기가 추가됩니다.
오전·an = a m + n .
2. 동일한 기준으로 각도를 나눌 때 해당 지수를 뺍니다.
3. 2개 이상의 요인의 곱의 정도는 다음 요인의 정도의 곱과 같습니다.
(abc…) n = an·bn·cn…
4. 분수의 차수는 피제수와 제수의 차수의 비율과 같습니다.
(a/b) n = a n /b n .
5. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.
(am) n = a m n .
위의 각 공식은 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 또는 그 반대로 적용됩니다.
예를 들어. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
뿌리가 있는 작업.
1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.
2. 비율의 근은 배당금과 근의 제수의 비율과 같습니다.
3. 근을 거듭제곱할 때 근수를 이 거듭제곱으로 올리는 것으로 충분합니다.
4. 뿌리의 정도를 높이면 N한 번에 동시에 구축 N제곱이 근수이면 근의 값은 변경되지 않습니다.
5. 뿌리의 정도를 감소시키는 경우 N동시에 뿌리를 뽑아낸다 N- 근수의 거듭제곱인 경우 근의 값은 변경되지 않습니다.
음수 지수가 있는 학위입니다.양수가 아닌(정수) 지수를 갖는 특정 숫자의 거듭제곱은 양수가 아닌 지수의 절대값과 동일한 지수를 갖는 동일한 숫자의 거듭제곱으로 나눈 값으로 정의됩니다.
공식 오전:an =a m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> N, 뿐만 아니라 중< N.
예를 들어. ㅏ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
공식으로 오전:an =a m - n공정해졌을 때 m=n, 0도가 필요합니다.
지수가 0인 학위입니다.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.
예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
분수 지수가 있는 학위입니다.실수를 올리려면 ㅏ정도 m/n, 루트를 추출해야합니다 N의 학위 중- 이 숫자의 거듭제곱 ㅏ.
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- 일하다 N각각이 동일한 요소 ㅏ~라고 불리는 N- 숫자의 거듭제곱 ㅏ지정되어 있으며 ㅏN.
- 여러 개의 동일한 요소의 곱을 구하는 동작을 지수화라고 합니다. 거듭제곱된 숫자를 거듭제곱의 밑수라고 합니다. 밑이 어느 정도 거듭제곱되었는지를 나타내는 숫자를 지수라고 합니다. 그래서, ㅏN- 도, ㅏ– 학위의 기초, N– 지수.
- 그리고 0 =1
- a 1 =a
- 오전∙ 앤= 오전 + N
- 오전: 앤= 오전 — N
- (오전) N= 백만
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (ㅏ/ 비) N= 앤/ 비엔분수를 거듭제곱하면 분수의 분자와 분모가 모두 해당 거듭제곱으로 올라갑니다.
- (- N) 제곱(n – 자연수) ㅏ, 0이 아닌 경우 역수가 고려됩니다. N-수의 거듭제곱 ㅏ, 즉. . ㅏ — N=1/ 앤. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (ㅏ/ 비) — N=(비/ ㅏ) N
- 자연 지수가 있는 학위의 속성은 모든 지수가 있는 학위에도 유효합니다.
매우 큰 숫자와 매우 작은 숫자는 일반적으로 표준 형식으로 작성됩니다. ㅏ∙10 N, 어디 1≤a<10 그리고 N(자연 또는 정수) – 표준 형식으로 작성된 숫자의 순서입니다.
- 곱셈의 작용을 사용하여 숫자, 변수 및 그 거듭제곱으로 구성된 표현식을 단항식이라고 합니다.
- 이러한 유형의 단항식은 수치적 인자(계수)가 먼저 나오고 그 뒤에 거듭제곱이 있는 변수가 나오는 경우를 표준 단항식 유형이라고 합니다. 단항식에 포함된 모든 변수의 지수의 합을 단항식의 차수라고 합니다.
- 문자 부분이 동일한 단항체를 유사 단항체라고 합니다.
- 단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식을 구성하는 단항식을 다항식의 항이라고 합니다.
- 이항식은 두 개의 항(단항식)으로 구성된 다항식입니다.
- 삼항식은 세 항(단항식)으로 구성된 다항식입니다.
- 다항식의 차수는 구성 단항식의 차수 중 가장 높은 차수입니다.
- 표준 형식의 다항식은 유사한 용어를 포함하지 않으며 해당 용어의 차수를 내림차순으로 작성합니다.
- 단항식에 다항식을 곱하려면 다항식의 각 항에 이 단항식을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.
- 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표현하는 것을 다항식 인수분해라고 합니다.
- 괄호에서 공통 인수를 취하는 것은 다항식을 인수분해하는 가장 간단한 방법입니다.
- 다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 단항식의 합으로 써야 합니다. 필요한 경우 유사한 용어를 추가합니다.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2두 표현식의 합의 제곱는 첫 번째 식의 제곱에 첫 번째 식의 곱의 두 배를 더한 값과 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 제곱을 더한 값과 같습니다.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2두 식의 차이의 제곱는 첫 번째 식의 제곱에서 첫 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 것과 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 제곱을 더한 것과 같습니다.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) 두 표현식의 제곱의 차이표현식 자체와 그 합계 간의 차이를 곱한 것과 같습니다.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3두 표현식의 합 큐브는 첫 번째 식의 세제곱에 첫 번째 식의 제곱의 곱을 더한 값, 두 번째 식에 첫 번째 식의 곱의 세 배를 더한 값, 두 번째 식의 제곱에 두 번째 식의 세제곱을 더한 값과 같습니다.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3두 표현식의 차이 큐브는 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 제곱의 곱의 3배를 뺀 것과 같고, 두 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 곱의 3배를 더한 것과 두 번째의 제곱에서 두 번째 식의 세제곱을 뺀 값과 같습니다.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) 두 표현식의 세제곱의 합는 표현식 자체의 합과 그 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) 두 표현의 큐브의 차이표현식 자체와 해당 합의 부분 제곱 간의 차이를 곱한 것과 같습니다.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc 세 식의 합의 제곱는 이러한 표현식의 제곱에 표현식 자체의 가능한 모든 두 배 쌍의 곱을 합한 것과 같습니다.
- 참조. 두 표현식의 합의 완전제곱식: a 2 + 2ab + b 2
두 표현식의 합의 부분 제곱: a 2 + ab + b 2
형태의 기능 y=x2제곱 함수라고 합니다. 이차 함수의 그래프는 꼭지점이 원점에 있는 포물선입니다. 포물선 가지 y=x²위쪽으로 향합니다.
형태의 기능 와이=x3큐빅 함수라고 합니다. 3차 함수의 그래프는 원점을 통과하는 3차 포물선입니다. 입방 포물선의 가지 y=x³ 1쿼터와 3쿼터에 위치하고 있습니다.
심지어 기능.
기능 에프변수의 각 값과 함께 호출되는 경우에도 엑스 -엑스 에프(- 엑스)= 에프(엑스). 짝수 함수의 그래프는 세로축(Oy)을 기준으로 대칭입니다. 함수 y=x 2는 짝수입니다.
이상한 기능.
기능 에프변수의 각 값과 함께 홀수라고 합니다. 엑스함수 값의 영역( -엑스)도 이 함수의 범위에 포함되며 동등성이 충족됩니다. 에프(- 엑스)=- 에프(엑스) . 홀수 함수의 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다. 함수 y=x 3은 홀수입니다.
이차 방정식.
정의. 형태의 방정식 도끼 2 +bx+c=0, 어디 에, 비그리고 씨– 임의의 실수, 그리고 a≠0, x– 변수, 이차방정식이라고 함.
ㅏ– 첫 번째 계수, 비– 두 번째 계수, 씨- 무료 회원.
불완전한 이차방정식을 푼다.
- 도끼 2 =0 – 불완전한 이차 방정식 (b=0, c=0 ). 해결책: x=0. 답: 0.
- 도끼 2 +bx=0 –불완전한 이차 방정식 (c=0 ). 풀이: x (ax+b)=0 → x 1 =0 또는 ax+b=0 → x 2 =-b/a. 답: 0; -b/a.
- 도끼 2 +c=0 –불완전한 이차 방정식 (b=0 ); 풀이: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
만약에 (-c/a)<0 , 그러면 실제 뿌리가 없습니다. 만약에 (-с/а)>0
- 도끼 2 +bx+c=0- 이차 방정식일반적인 견해
판별식 D=b 2 - 4ac.
만약에 D>0, 그러면 우리는 두 개의 실제 뿌리를 갖게 됩니다:
만약에 D=0, 그러면 단일 근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다. x=-b/(2a).
만약 D<0, то действительных корней нет.
- 도끼 2 +bx+c=0 – 이차 방정식 짝수 초 동안의 비공개 양식
계수 비
- 도끼 2 +bx+c=0 – 이차 방정식 개인 유형 제공 : a-b+c=0.
첫 번째 근은 항상 마이너스 1과 같고 두 번째 근은 항상 마이너스와 같습니다. 와 함께, 로 나눈 ㅏ:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
- 도끼 2 +bx+c=0 – 이차 방정식 개인 유형 제공: a+b+c=0 .
첫 번째 근은 항상 1과 같고, 두 번째 근은 다음과 같습니다. 와 함께, 로 나눈 ㅏ:
x 1 =1, x 2 =c/a.
주어진 이차 방정식을 푼다.
- x 2 +px+q=0 – 축소된 이차 방정식 (첫 번째 계수는 1과 같습니다).
축소된 이차 방정식의 근의 합 x 2 +px+q=0반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.
도끼 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), 어디 1개, 2개- 이차 방정식의 근 도끼 2 +bx+c=0.
자연 인수의 기능을 수열이라고 하며, 수열을 구성하는 수를 수열의 항이라고 합니다.
숫자 순서는 언어적, 분석적, 반복적, 그래픽 방식으로 지정될 수 있습니다.
두 번째부터 시작하는 각 구성원이 주어진 시퀀스에 대해 동일한 숫자에 추가된 이전 구성원과 동일한 숫자 시퀀스입니다. 디, 등차진행(Arithmetic Progression)이라고 합니다. 숫자 디등차수열의 차이라고 부른다. 산술 진행에서 (n), 즉 용어가 포함된 산술 수열: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, an n, ... 정의에 따라: a 2 =a 1 + 디; 3 = 2 + 디; 4 = 3 + 디; 5 = 4 + 디; ...; n =a n-1 + 디; …
산술수열의 n번째 항에 대한 공식입니다.
n =a 1 +(n-1) d.
산술 진행의 속성.
- 두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 항은 인접한 항의 산술 평균과 같습니다.
n =(an-1 +an+1):2;
- 두 번째부터 시작하는 산술 수열의 각 항은 동일한 간격의 항의 산술 평균과 같습니다.
n =(an-k +a n+k):2.
산술수열의 처음 n항의 합을 구하는 공식입니다.
1) Sn = (a 1 +an)∙n/2; 2) Sn =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
기하학적 진행.
기하학적 진행의 정의.
두 번째부터 시작하는 각 구성원이 이전 구성원과 동일하고 주어진 시퀀스에 대해 동일한 숫자를 곱한 숫자 시퀀스 큐, 기하수열이라고 합니다. 숫자 큐기하학적 수열의 분모라고 합니다. 기하수열(b n), 즉 기하수열 b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., bn, ... 정의에 따라: b 2 = b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; ... ; b n =bn -1 ∙q.
기하수열의 n번째 항에 대한 공식입니다.
bn =b 1 ∙qn -1 .
기하학적 진행의 속성.
첫 번째 합계를 구하는 공식n 기하수열의 항.
무한히 감소하는 기하학적 수열의 합입니다.
무한 주기 소수는 공통 분수와 같습니다, 그 분자에는 소수점 이하 전체 수와 분수의 마침표 전 소수점 이하 수의 차이를 나타내고, 분모는 "9"와 "0"으로 구성되며, " 마침표의 자릿수만큼 "9"를 사용하고 분수 마침표 앞의 소수점 이하 자릿수만큼 "0"을 사용합니다. 예:
직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트.
(α+β=90°)
다음과 같습니다: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. β=90°-α이므로,
sin(90°-α)=cosα; cos(90°-α)=sinα;
tg(90°-α)=ctgα; ctg(90°-α)=tgα.
최대 90°까지 서로 보완하는 각도의 공함수는 동일합니다.
추가 공식.
9) 죄(α+β)=죄α∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) 죄(α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
이중 및 삼중 인수에 대한 공식.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos2α-sin2α;
19) 1+cos2α=2cos2α; 20) 1-cos2α=2sin2α
21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3α=4cos3α-3cosα;
합계(차이)를 곱으로 변환하는 공식입니다.
곱을 합계(차이)로 변환하는 공식입니다.
절반 인수 공식.
모든 각도의 사인 및 코사인.
삼각 함수의 균등성(이상성).
삼각함수 중에서 오직 하나만 짝수입니다: y=cosx, 나머지 세 개는 홀수입니다, 즉 cos(-α)=cosα;
죄(-α)=-죄α; tg(-α)=-tgα; ctg(-α)=-ctgα.
좌표계에 의한 삼각함수 표시.
일부 각도의 삼각 함수 값.
라디안.
1) 1 라디안은 주어진 원의 반지름과 길이가 같은 호를 기준으로 한 중심각의 값입니다. 1라드≒57°.
2) 각도의 도 단위를 라디안 단위로 변환.
3) 라디안 각도 측정값을 각도 측정값으로 변환합니다.
감소 공식.
니모닉 규칙:
1. 축소 기능 앞에 축소 표시를 넣습니다.
2. 인수 π/2(90°)를 홀수 번 쓰면 함수는 공동함수로 변경됩니다.
역삼각함수.
숫자의 아크사인(arcsin a)은 간격 [-π/2; π/2 ], 사인은 a와 같습니다.
아크신(- ㅏ)=- 아크신ㅏ.
숫자의 아크코사인(arccos a)은 코사인이 a와 같은 간격의 각도입니다.
아크코스(-a)=π – 아르코사.
숫자의 아크탄젠트(arctg a)는 간격(-π/2; π/2)으로부터의 각도이며, 그 탄젠트는 a와 같습니다.
아크트그(- ㅏ)=- 아크트그ㅏ.
숫자 a의 아크코탄젠트(arcctg a)는 간격(0; π)으로부터의 각도이며, 그 코탄젠트는 a와 같습니다.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
간단한 삼각 방정식을 푼다.
일반 공식.
1)
죄 t=a, 0 2)
죄 t = - a, 0 3)
비용 t=a, 0 4)
비용 t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0이면 t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0이면 t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0이면 t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, t=π – arcctg a + πn, nϵZ. 특정 수식. 1)
sin t =0이면 t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1이면 t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1이면 t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0이면 t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1이면 t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1이면 t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0이면 t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0이면 t = π/2+πn, nϵZ입니다. 간단한 삼각 부등식을 해결합니다.
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