Összetett kifejezések törtekkel. Eljárás

Töredék- egy számábrázolási forma a matematikában. A törtsáv az osztási műveletet jelöli. Számláló törtét osztaléknak nevezzük, és névadó- osztó. Például egy törtben a számláló 5, a nevező pedig 7.

Helyes Olyan törtet nevezünk, amelyben a számláló modulusa nagyobb, mint a nevező modulusa. Ha egy tört megfelelő, akkor értékének modulusa mindig kisebb, mint 1. Minden más tört igen rossz.

A tört úgynevezett vegyes, ha egész számként és törtként van felírva. Ez megegyezik ennek a számnak és a törtnek az összegével:

A tört fő tulajdonsága

Ha egy tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk ugyanazzal a számmal, akkor a tört értéke nem változik, azaz pl.

Törtek redukálása közös nevezőre

Két tört közös nevezőhöz hozásához a következőkre lesz szüksége:

1. Szorozzuk meg az első tört számlálóját a második nevezőjével
2. Szorozzuk meg a második tört számlálóját az első tört nevezőjével
3. Cserélje le mindkét tört nevezőjét a szorzatukkal!

Műveletek törtekkel

Kiegészítés. Két frakció hozzáadásához szükséges

1. Adja hozzá mindkét tört új számlálóját, és hagyja változatlanul a nevezőt

Példa:

Kivonás. Ahhoz, hogy az egyik törtet a másikból kivonjuk, szükségünk van

1. Csökkentse a törteket közös nevezőre
2. Vonja ki a második számlálóját az első tört számlálójából, és hagyja változatlanul a nevezőt

Példa:

Szorzás. Egy tört egy másikkal való szorzásához szorozza meg számlálójukat és nevezőit:

Osztály. Az egyik tört egy másikkal való osztásához szorozza meg az első tört számlálóját a második nevezőjével, és szorozza meg az első tört nevezőjét a második tört számlálójával:

Ahhoz, hogy egy részt az egész töredékeként fejezzünk ki, fel kell osztanunk a részt az egészre.

1. feladat. 30 tanuló van az osztályban, négyen hiányoznak. A tanulók hány százaléka hiányzik?

Megoldás:

Válasz: Nincsenek tanulók az osztályban.

Tört keresése egy számból

A következő szabályt kell alkalmazni az olyan problémák megoldására, amelyekben meg kell találni az egész egy részét:

Ha az egész egy része törtként van kifejezve, akkor ennek a résznek a megtalálásához eloszthatja az egészet a tört nevezőjével, és megszorozhatja az eredményt a számlálójával.

1. feladat. 600 rubel volt, ezt az összeget költötték el. mennyi pénzt költöttél?

Megoldás: 600 rubel vagy több megtalálásához ezt az összeget 4 részre kell osztanunk, így megtudjuk, mennyi pénz az egynegyed rész:

600: 4 = 150 (r.)

Válasz: költött 150 rubelt.

2. feladat. 1000 rubel volt, ezt az összeget elköltötték. Mennyi pénzt költöttek el?

Megoldás: a problémafelvetésből tudjuk, hogy 1000 rubel öt egyenlő részből áll. Először nézzük meg, hány rubel az 1000 egyötöde, majd megtudjuk, hány rubel a kétötöde:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - egyötöde.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - két ötöd.

Ez a két művelet kombinálható: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Válasz: 400 rubelt költöttek el.

A második módszer az egész egy részének megtalálására:

Az egész egy részének megtalálásához megszorozhatja az egészet az egésznek ezt a részét kifejező törttel.

3. feladat. A szövetkezet alapszabálya szerint a jelentéstevő értekezlet érvényességéhez legalább a szervezet tagjainak jelen kell lenniük. A szövetkezetnek 120 tagja van. Milyen összetételű lehet egy jelentéstevő értekezlet?

Megoldás:

Válasz: a jelentéstevő értekezletre akkor kerülhet sor, ha a szervezetnek 80 tagja van.

Szám keresése a tört alapján

Olyan problémák megoldására, amelyekben meg kell találnia egy egészet a maga részéről, a következő szabály érvényes:

Ha a kívánt egész egy része törtként van kifejezve, akkor ennek az egésznek a megtalálásához eloszthatja ezt a részt a tört számlálójával, és megszorozhatja az eredményt a nevezőjével.

1. feladat. 50 rubelt költöttünk, ami kevesebb volt, mint az eredeti összeg. Keresse meg az eredeti pénzösszeget.

Megoldás: a probléma leírásából azt látjuk, hogy 50 rubel 6-szor kevesebb, mint az eredeti összeg, azaz az eredeti összeg 6-szor több, mint 50 rubel. Ennek az összegnek a meghatározásához meg kell szoroznia 50-et 6-tal:

50 · 6 = 300 (r.)

Válasz: a kezdeti összeg 300 rubel.

2. feladat. 600 rubelt költöttünk el, ami kevesebb volt, mint az eredeti pénzösszeg. Keresse meg az eredeti összeget.

Megoldás: Feltételezzük, hogy a szükséges szám háromharmadból áll. A feltétel szerint a szám kétharmada 600 rubelnek felel meg. Először keressük meg az eredeti összeg egyharmadát, majd hány rubel a háromharmada (az eredeti összeg):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Válasz: a kezdeti összeg 900 rubel.

A második módja annak, hogy megtaláljuk az egészet a maga részéről:

Ha egy egészet a részét kifejező értékkel szeretne megkeresni, ezt az értéket eloszthatja a részt kifejező törttel.

3. feladat. Vonalszakasz AB, egyenlő 42 cm-rel, a szegmens hossza CD. Keresse meg a szakasz hosszát CD.

Megoldás:

Válasz: szegmens hossza CD 70 cm.

4. feladat. Görögdinnyét hoztak a boltba. Ebéd előtt a bolt eladta a hozott görögdinnyét, ebéd után pedig 80 darab görögdinnye maradt. Hány görögdinnyét vittél a boltba?

Megoldás: Először nézzük meg, hogy a hozott görögdinnye melyik része a 80-as szám. Ehhez vegyük az összes hozott görögdinnye számát egynek, és vonjuk le belőle az eladott (eladott) görögdinnye számát:

Így megtudtuk, hogy 80 görögdinnye teszi ki az összes hozott görögdinnyét. Most megtudjuk, hogy a teljes mennyiségből hány görögdinnye, majd hány görögdinnye (a hozott görögdinnye):

2) 80:4 15 = 300 (görögdinnye)

Válasz:Összesen 300 görögdinnyét hoztak a boltba.

A törteket tartalmazó példák a matematika egyik alapeleme. Sok különböző típusú egyenlet létezik törtekkel. Az alábbiakban részletes utasításokat talál az ilyen típusú példák megoldásához.

Példák megoldása törtekkel - általános szabályok

Ha bármilyen típusú törttel szeretne példákat megoldani, legyen az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás, ismernie kell az alapvető szabályokat:

• Az azonos nevezővel rendelkező törtkifejezések hozzáadásához (a nevező a tört alján lévő szám, a számláló a tetején), hozzá kell adni a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagyni.
• Ahhoz, hogy egy törtből kivonjon egy második törtkifejezést (azonos nevezővel), ki kell vonnia a számlálóikat, és a nevezőt változatlannak kell hagynia.
• A különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához meg kell találnia a legkisebb közös nevezőt.
• A törtszorzat megtalálásához meg kell szorozni a számlálókat és a nevezőket, és ha lehetséges, csökkenteni kell.
• Egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első törtet a második törttel megfordítva.

Példák megoldása törtekkel - gyakorlat

1. szabály, 1. példa:

3/4 +1/4 kiszámítása.

Az 1. szabály szerint, ha két (vagy több) törtnek ugyanaz a nevezője, egyszerűen adja hozzá a számlálóikat. A következőt kapjuk: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ha egy törtnek azonos a számlálója és a nevezője, akkor a tört értéke 1.

Válasz: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

2. szabály, 1. példa:

Számítsd ki: 3/4 – 1/4

A 2-es számú szabály segítségével az egyenlet megoldásához ki kell vonni 1-et 3-ból, és a nevezőt változatlannak kell hagyni. 2/4-et kapunk. Mivel kettő 2 és 4 csökkenthető, csökkentjük és 1/2-t kapunk.

Válasz: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

3. szabály, 1. példa

Számítsd ki: 3/4 + 1/6

Megoldás: A 3. szabály segítségével megtaláljuk a legkisebb közös nevezőt. A legkisebb közös nevező az a szám, amely a példában szereplő összes törtkifejezés nevezőjével osztható. Így meg kell találnunk azt a minimális számot, amely osztható lesz 4-gyel és 6-tal is. Ez a szám 12. 12-t írunk nevezőnek. A 12-t elosztjuk az első tört nevezőjével, 3-at kapunk, megszorozzuk 3-mal, írjuk 3 a számlálóban *3 és + jel. A 12-t elosztjuk a második tört nevezőjével, 2-t kapunk, 2-t megszorozunk 1-gyel, 2*1-et írunk a számlálóba. Tehát egy új törtet kapunk, amelynek nevezője 12, számlálója pedig 3*3+2*1=11. 11/12.

Válasz: 11/12

3. szabály, 2. példa:

Számíts 3/4 – 1/6. Ez a példa nagyon hasonlít az előzőhöz. Ugyanazokat a lépéseket tesszük, de a számlálóba a + jel helyett mínuszjelet írunk. A következőt kapjuk: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Válasz: 7/12

4. szabály, 1. példa:

Számítsd ki: 3/4 * 1/4

A negyedik szabályt alkalmazva megszorozzuk az első tört nevezőjét a második, az első tört számlálóját pedig a második számlálójával. 3*1/4*4 = 3/16.

Válasz: 3/16

4. szabály, 2. példa:

Számíts 2/5 * 10/4.

Ez a rész csökkenthető. Egy szorzat esetében az első tört számlálója és a második nevezője, valamint a második tört számlálója és az első nevezője törlésre kerül.

2 törlés 4-ből. 10 törlés 5-ből. 1 * 2/2 = 1*1 = 1-et kapunk.

Válasz: 2/5 * 10/4 = 1

5. szabály, 1. példa:

Számítsd ki: 3/4: 5/6

Az 5. szabályt használva a következőt kapjuk: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Csökkentjük a törtet az előző példa elve szerint, és 9/10-et kapunk.

Válasz: 9/10.

Példák megoldása törtekkel - törtegyenletek

A törtegyenletek olyan példák, ahol a nevező ismeretlent tartalmaz. Egy ilyen egyenlet megoldásához bizonyos szabályokat kell alkalmaznia.

Nézzünk egy példát:

Oldja meg a 15/3x+5 = 3 egyenletet

Emlékezzünk arra, hogy nem lehet nullával osztani, pl. a nevező értéke nem lehet nulla. Az ilyen példák megoldása során ezt jelezni kell. Erre a célra létezik egy OA (megengedett értéktartomány).

Tehát 3x+5 ≠ 0.
Tehát: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Ha x = 5/3, az egyenletnek egyszerűen nincs megoldása.

Az ODZ megadása után az egyenlet megoldásának legjobb módja a törtek eltávolítása. Ehhez először az összes nem tört értéket törtként mutatjuk be, jelen esetben a 3-as számot. A következőt kapjuk: 15/(3x+5) = 3/1. A törtektől való megszabaduláshoz mindegyiket meg kell szorozni a legkisebb közös nevezővel. Ebben az esetben (3x+5)*1 lesz. Sorrend:

1. Szorozd meg a 15/(3x+5)-t (3x+5)*1 = 15*(3x+5)-el.
2. Nyissa ki a zárójeleket: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Ugyanezt tesszük az egyenlet jobb oldalával is: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. A bal és a jobb oldal egyenlősége: 45x + 75 = 9x +15
5. Mozgassa az X-eket balra, a számokat jobbra: 36x = – 50
6. Keresse meg x: x = -50/36.
7. Csökkentjük: -50/36 = -25/18

Válasz: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Példák megoldása törtekkel - törtegyenlőtlenségek

A (3x-5)/(2-x)≥0 típusú törtegyenlőtlenségeket a számtengely segítségével oldjuk meg. Nézzük ezt a példát.

Sorrend:

• A számlálót és a nevezőt nullával egyenlővé tesszük: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Rajzolunk egy számtengelyt, ráírjuk a kapott értékeket.
• Rajzolj egy kört az érték alá. Kétféle kör létezik: töltött és üres. A kitöltött kör azt jelenti, hogy a megadott érték a megoldási tartományon belül van. Az üres kör azt jelzi, hogy ez az érték nem szerepel a megoldási tartományban.
• Mivel a nevező nem lehet egyenlő nullával, a 2. alatt egy üres kör lesz.

• Az előjelek meghatározásához bármely kettőnél nagyobb számot behelyettesítünk az egyenletbe, például 3-at. (3*3-5)/(2-3)= -4. az érték negatív, ami azt jelenti, hogy a kettő után a terület fölé mínuszt írunk. Ezután helyettesítse X-et az 5/3 és 2 közötti intervallum bármely értékével, például 1-gyel. Az érték ismét negatív. Mínuszt írunk. Ugyanezt megismételjük az 5/3-ig elhelyezkedő területtel. Bármilyen 5/3-nál kisebb számot behelyettesítünk, például 1-et. Ismét mínusz.

• Mivel érdekelnek minket x azon értékei, amelyeknél a kifejezés nagyobb vagy egyenlő 0-val, és nincsenek ilyen értékek (mindenhol vannak mínuszok), ennek az egyenlőtlenségnek nincs megoldása, azaz x = Ø (üres halmaz).

Válasz: x = Ø

Az egyik legfontosabb tudomány, amelynek alkalmazása olyan tudományágakban is megfigyelhető, mint a kémia, a fizika, sőt a biológia is, a matematika. Ennek a tudománynak a tanulmányozása lehetővé teszi bizonyos mentális tulajdonságok fejlesztését és koncentrációs képességének javítását. A matematika kurzusban az egyik kiemelt figyelmet érdemlő téma a törtek összeadása és kivonása. Sok diáknak nehézséget okoz a tanulás. Talán cikkünk segít jobban megérteni ezt a témát.

Hogyan kell kivonni azokat a törteket, amelyeknek a nevezője azonos

A törtek ugyanazok a számok, amelyekkel különféle műveleteket hajthat végre. Az egész számoktól való eltérésük a nevező jelenlétében rejlik. Éppen ezért a törtekkel végzett műveletek során tanulmányoznia kell egyes jellemzőit és szabályait. A legegyszerűbb eset az olyan közönséges törtek kivonása, amelyek nevezői azonos számként vannak ábrázolva. Ennek a műveletnek a végrehajtása nem lesz nehéz, ha ismer egy egyszerű szabályt:

• Ahhoz, hogy egy törtből egy másodpercet levonjunk, ki kell vonni a kivont tört számlálóját a csökkentendő tört számlálójából. Ezt a számot beírjuk a különbség számlálójába, és a nevezőt változatlannak hagyjuk: k/m - b/m = (k-b)/m.

Példák az azonos nevezőkkel rendelkező törtek kivonására

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

A „7” tört számlálójából kivonjuk a kivonandó „3” tört számlálóját, „4”-et kapunk. Ezt a számot a válasz számlálójába írjuk, és a nevezőbe ugyanazt a számot adjuk, amely az első és a második tört nevezőjében volt - „19”.

Az alábbi képen több hasonló példa látható.

Tekintsünk egy bonyolultabb példát, ahol a hasonló nevezővel rendelkező törteket kivonjuk:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

A „29” tört számlálójából le kell vonni az összes következő tört számlálóit - „3”, „8”, „2”, „7”. Ennek eredményeként a „9” eredményt kapjuk, amelyet a válasz számlálójába írunk, a nevezőben pedig azt a számot, amely ezeknek a törteknek a nevezőiben található - „47”.

Azonos nevezővel rendelkező törtek összeadása

A közönséges törtek összeadása és kivonása ugyanezt az elvet követi.

• Ha olyan törteket szeretne hozzáadni, amelyeknek a nevezője azonos, össze kell adnia a számlálókat. A kapott szám az összeg számlálója, a nevező pedig változatlan marad: k/m + b/m = (k + b)/m.

Nézzük meg, hogyan néz ki ez egy példa segítségével:

1/4 + 2/4 = 3/4.

A tört első tagjának számlálójához - „1” - adja hozzá a tört második tagjának számlálóját - „2”. Az eredményt - „3” - beírjuk az összeg számlálójába, és a nevező ugyanaz marad, mint a törtekben - „4”.

Különböző nevezőjű törtek és kivonásuk

Már megvizsgáltuk az azonos nevezővel rendelkező törtekkel végzett műveletet. Mint látható, az egyszerű szabályok ismeretében az ilyen példák megoldása meglehetősen egyszerű. De mi van akkor, ha különböző nevezőkkel rendelkező törtekkel kell műveletet végrehajtania? Sok középiskolást megzavarnak az ilyen példák. De még itt sem lesz nehéz számodra a példa, ha ismered a megoldás elvét. Itt is van egy szabály, amely nélkül az ilyen törtek megoldása egyszerűen lehetetlen.

A különböző nevezőjű törtek kivonásához azokat ugyanarra a legkisebb nevezőre kell csökkenteni.



Ennek módjáról részletesebben fogunk beszélni.

Egy tört tulajdonsága

Ahhoz, hogy több törtet ugyanarra a nevezőre hozzon, a megoldásban a tört fő tulajdonságát kell használni: a számláló és a nevező azonos számmal való elosztása vagy szorzása után az adott törtet kapjuk.

Így például a 2/3 törtnek lehetnek nevezői, például „6”, „9”, „12” stb., azaz bármilyen szám alakja lehet, amely a „3” többszöröse. Miután megszoroztuk a számlálót és a nevezőt 2-vel, a 4/6-ot kapjuk. Miután az eredeti tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk „3-mal”, 6/9-et kapunk, ha pedig hasonló műveletet végzünk a „4” számmal, akkor 8/12-t kapunk. Egy egyenlőség a következőképpen írható fel:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Hogyan konvertálhatunk több törtet ugyanarra a nevezőre

Nézzük meg, hogyan lehet több törtet ugyanarra a nevezőre redukálni. Vegyük például az alábbi képen látható törteket. Először meg kell határoznia, hogy melyik szám válhat mindegyik nevezőjévé. A dolgok megkönnyítése érdekében a meglévő nevezőket faktorizáljuk.

Az 1/2 tört és a 2/3 tört nevezője nem faktorizálható. A 7/9 nevezőnek két tényezője van: 7/9 = 7/(3 x 3), az 5/6 tört nevezője = 5/(2 x 3). Most meg kell határoznunk, hogy mely tényezők lesznek a legkisebbek mind a négy tört esetében. Mivel az első tört nevezőjében a „2” szám szerepel, ez azt jelenti, hogy minden nevezőben jelen kell lennie, a 7/9-es törtben két hármas van, ami azt jelenti, hogy mindkettőnek a nevezőben is szerepelnie kell. A fentiek figyelembevételével megállapítjuk, hogy a nevező három tényezőből áll: 3, 2, 3, és egyenlő 3 x 2 x 3 = 18-cal.



Tekintsük az első törtet - 1/2. A nevezőjében van egy „2”, de nincs egyetlen „3” számjegy sem, hanem kettőnek kell lennie. Ehhez megszorozzuk a nevezőt két hármasával, de a tört tulajdonsága szerint a számlálót meg kell szorozni két hármasával:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Ugyanezeket a műveleteket hajtjuk végre a maradék törtekkel is.

• 2/3 - egy három és egy kettő hiányzik a nevezőből:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 vagy 7/(3 x 3) - a nevezőből hiányzik a kettő:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 vagy 5/(2 x 3) – a nevezőből hiányzik a három:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Mindez együtt így néz ki:



Hogyan lehet kivonni és összeadni a különböző nevezőkkel rendelkező törteket

Mint fentebb említettük, a különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához azokat ugyanarra a nevezőre kell redukálni, majd alkalmazni kell az azonos nevezővel rendelkező törtek kivonására vonatkozó, már tárgyalt szabályokat.

Nézzük ezt példaként: 4/18 - 3/15.

A 18 és 15 számok többszörösének megkeresése:

• A 18-as szám 3 x 2 x 3-ból áll.
• A 15-ös szám 5 x 3-ból áll.
• A közös többszörös a következő tényezők: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

A nevező megtalálása után ki kell számítani azt a tényezőt, amely törtenként eltérő lesz, vagyis azt a számot, amellyel nemcsak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szorozni. Ehhez osszuk el a talált számot (a közös többszöröst) annak a törtnek a nevezőjével, amelyhez további tényezőket kell meghatározni.

• 90 osztva 15-tel. A kapott „6” szám a 3/15 szorzója lesz.
• 90 osztva 18-cal. A kapott „5” szám a 4/18 szorzója lesz.

Megoldásunk következő lépése az, hogy minden törtet 90-es nevezőre redukálunk.

Már beszéltünk arról, hogy ez hogyan történik. Nézzük meg, hogyan van ez megírva egy példában:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ha a törtek kis számokkal rendelkeznek, akkor meghatározhatja a közös nevezőt, az alábbi képen látható példának megfelelően.



Ugyanez igaz a különböző nevezőkkel rendelkezőkre is.

Kivonás és egész számmal rendelkező részek

A törtek kivonását és összeadását már részletesen tárgyaltuk. De hogyan kell kivonni, ha egy törtnek egész része van? Ismét használjunk néhány szabályt:

• Alakítsa át az összes egész részt tartalmazó törtet helytelen törtekre. Egyszerű szavakkal, távolítson el egy egész részt. Ehhez meg kell szorozni az egész rész számát a tört nevezőjével, és a kapott szorzatot hozzáadni a számlálóhoz. A műveletek után megjelenő szám a helytelen tört számlálója. A nevező változatlan marad.
• Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor azokat ugyanarra a nevezőre kell csökkenteni.
• Végezzen összeadást vagy kivonást ugyanazokkal a nevezőkkel.
• Nem megfelelő tört fogadásakor válassza ki a teljes részt.



Van egy másik módja annak, hogy egész részeket tartalmazó törteket adjunk össze és vonjunk ki. Ehhez a műveleteket külön-külön egész részekkel, a törtekkel külön-külön hajtják végre, és az eredményeket együtt rögzítik.



A megadott példa olyan törtekből áll, amelyeknek azonos a nevezője. Abban az esetben, ha a nevezők különbözőek, akkor azokat azonos értékre kell hozni, majd a példában látható műveleteket végrehajtani.

Törtszámok kivonása egész számokból

A törtekkel végzett művelet másik típusa az az eset, amikor törtet kell kivonni, első pillantásra egy ilyen példa nehezen megoldhatónak tűnik. Itt azonban minden nagyon egyszerű. Megoldásához az egész számot törtté kell alakítani, és ugyanazzal a nevezővel, amely a kivont törtben van. Ezután a kivonáshoz hasonló kivonást hajtunk végre azonos nevezőkkel. Egy példában így néz ki:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

A jelen cikkben bemutatott törtek (6. osztály) kivonása az összetettebb példák megoldásának alapja, amelyekkel a következő évfolyamok foglalkoznak. A témakör ismereteit a későbbiekben függvények, deriváltok stb. megoldására használják. Ezért nagyon fontos megérteni és megérteni a fent tárgyalt törtekkel végzett műveleteket.

Műveletek törtekkel. Ebben a cikkben példákat fogunk megnézni, mindent részletesen, magyarázatokkal. A közönséges törteket fogjuk figyelembe venni. Később megnézzük a tizedesjegyeket. Azt javaslom, hogy nézd meg az egészet, és sorban tanulmányozd.

1. Törtek összege, törtek különbsége.

Szabály: egyenlő nevezőjű törtek összeadásakor az eredmény egy tört - amelynek nevezője változatlan marad, számlálója pedig egyenlő lesz a törtek számlálóinak összegével.

Szabály: az azonos nevezőjű törtek különbségének kiszámításakor törtet kapunk - a nevező ugyanaz marad, és a második számlálóját kivonjuk az első tört számlálójából.

Az egyenlő nevezőjű törtek összegének és különbségének formális jelölése:

Példák (1):

Nyilvánvaló, hogy ha közönséges törteket adunk, akkor minden egyszerű, de mi van, ha keverjük őket? Semmi bonyolult...

1.opció– átalakíthatja őket közönségessé, majd kiszámolhatja.

2. lehetőség– külön „dolgozhat” az egész és a tört részekkel.

Példák (2):

Több:

Mi van akkor, ha két vegyes tört különbsége adott, és az első tört számlálója kisebb, mint a másodiké? Kétféleképpen is cselekedhet.

Példák (3):

*Átszámítva közönséges törtekre, kiszámítva a különbséget, a kapott nem megfelelő törtet átváltotta vegyes törtté.

* Egész és tört részekre bontottuk, kaptunk egy hármast, majd a 3-at 2 és 1 összegeként mutattuk be, az egyiket 11/11-ként ábrázoltuk, majd megállapítottuk a 11/11 és 7/11 közötti különbséget, és kiszámoltuk az eredményt. . A fenti transzformációk jelentése az, hogy vegyünk (kiválasszunk) egy egységet és tört alakban mutassuk be a számunkra szükséges nevezővel, majd ebből a törtből levonhatunk egy másikat.

Egy másik példa:

Következtetés: van egy univerzális megközelítés - az egyenlő nevezővel rendelkező vegyes törtek összegének (különbségének) kiszámításához mindig átszámíthatók nem megfelelőekké, majd elvégezzük a szükséges műveletet. Ezt követően, ha az eredmény nem megfelelő tört, akkor azt vegyes törtté alakítjuk.

A fentiekben példákat néztünk meg olyan törtekkel, amelyeknek azonos nevezője van. Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ebben az esetben a törteket ugyanarra a nevezőre redukáljuk, és végrehajtjuk a megadott műveletet. Egy tört megváltoztatásához (átalakításához) a tört alapvető tulajdonságát használjuk.

Nézzünk egyszerű példákat:

Ezekben a példákban azonnal látjuk, hogy az egyik tört hogyan alakítható át egyenlő nevezőkre.

Ha kijelöljük a törtek ugyanarra a nevezőre való csökkentésének módjait, akkor ezt nevezzük ELSŐ MÓDSZER.

Vagyis egy tört „kiértékelésekor” azonnal ki kell találnia, hogy ez a megközelítés működni fog - ellenőrizzük, hogy a nagyobb nevező osztható-e a kisebbel. És ha osztható, akkor transzformációt hajtunk végre - megszorozzuk a számlálót és a nevezőt úgy, hogy mindkét tört nevezője egyenlő legyen.

Most nézze meg ezeket a példákat:

Ez a megközelítés nem alkalmazható rájuk. Vannak módok a törtek közös nevezőre való redukálására is; nézzük meg őket.

MÁSODIK módszer.

Az első tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a második, a második tört számlálóját és nevezőjét pedig az első nevezőjével:

*Valójában törteket redukálunk, és akkor keletkeznek, ha a nevezők egyenlővé válnak. Ezután az egyenlő nevezőjű törtek összeadásának szabályát használjuk.

Példa:

*Ez a módszer univerzálisnak nevezhető, és mindig működik. Az egyetlen hátránya, hogy a számítások után olyan töredékhez juthat, amelyet tovább kell csökkenteni.

Nézzünk egy példát:

Látható, hogy a számláló és a nevező osztható 5-tel:

HARMADIK módszer.

Meg kell találnia a nevezők legkisebb közös többszörösét (LCM). Ez lesz a közös nevező. Ez milyen szám? Ez a legkisebb természetes szám, amely osztható az egyes számokkal.

Nézze, itt van két szám: 3 és 4, sok szám osztható velük - ezek 12, 24, 36, ... A legkisebb közülük a 12. Vagy 6 és 15, oszthatók 30-zal, 60, 90... A legkisebb a 30. A kérdés az, hogy hogyan határozható meg ez a legkisebb közös többszörös?

Van egy világos algoritmus, de gyakran ez azonnal elvégezhető számítások nélkül. Például a fenti példák szerint (3 és 4, 6 és 15) nincs szükség algoritmusra, nagy számokat vettünk (4 és 15), megdupláztuk, és láttuk, hogy oszthatók a második számmal, de számpárok legyen mások, például 51 és 119.

Algoritmus. Több szám legkisebb közös többszörösének meghatározásához a következőket kell tennie:

- az egyes számokat SIMPLE tényezőkre bontani

— írd le közülük a NAGYOBB dekompozícióját

- szorozza meg más számok HIÁNYZÓ tényezőivel

Nézzünk példákat:

50 és 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

egy nagyobb szám bővítésében ötös hiányzik

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 és 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

egy nagyobb szám bővítésében kettes és három hiányzik

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Két prímszám legkisebb közös többszöröse a szorzatuk

Kérdés! Miért hasznos megtalálni a legkisebb közös többszöröst, mivel használhatja a második módszert, és egyszerűen csökkentheti a kapott törtet? Igen, lehetséges, de nem mindig kényelmes. Nézze meg a 48 és 72 számok nevezőjét, ha egyszerűen megszorozza őket 48∙72 = 3456-tal. Egyetért, hogy kellemesebb kisebb számokkal dolgozni.

Nézzünk példákat:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

nagyobb szám bővítéséből hiányzik a hármas

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Most használjuk az első módszert:

*Nézze meg a számítások különbségét, az első esetben van minimum, de a másodiknál ​​külön kell dolgozni egy papíron, és még a kapott töredéket is csökkenteni kell. A LOC megtalálása jelentősen leegyszerűsíti a munkát.

További példák:

*A második példában jól látható, hogy a legkisebb 40-zel és 60-zal osztható szám 120.

EREDMÉNY! ÁLTALÁNOS SZÁMÍTÁSI ALGORITMUS!

— a törteket közönségesre redukáljuk, ha van egész szám.

- törteket hozunk egy közös nevezőre (először megnézzük, hogy az egyik nevező osztható-e a másikkal; ha osztható, akkor ennek a másik törtnek a számlálóját és nevezőjét megszorozzuk; ha nem osztható, akkor a többi módszerrel járunk el fentebb jeleztük).

- Az egyenlő nevezőjű törteket megkapva műveleteket végzünk (összeadás, kivonás).

- szükség esetén csökkentjük az eredményt.

- ha szükséges, akkor válassza ki a teljes részt.

2. Törtek szorzata.

A szabály egyszerű. A törtek szorzásakor a számlálóikat és a nevezőiket szorozzuk:

Példák: