Najveća i najmanja vrijednost funkcije

Najveća vrijednost funkcije naziva se najveća, najmanja vrijednost je najmanja od svih njenih vrijednosti.

Funkcija može imati samo jednu najveću i samo jednu najmanju vrijednost, a može i ne imati nijednu. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuiranih funkcija temelji se na sljedećim svojstvima ovih funkcija:

1) Ako je u nekom intervalu (konačnom ili beskonačnom) funkcija y=f(x) kontinuirana i ima samo jedan ekstrem, a ako je to maksimum (minimum), onda će to biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije u ovom intervalu.

2) Ako je funkcija f(x) kontinuirana na nekom segmentu, onda ona nužno ima najveću i najmanju vrijednost na ovom segmentu. Ove vrijednosti se postižu ili na ekstremnim tačkama koje leže unutar segmenta, ili na granicama ovog segmenta.

Da biste pronašli najveće i najmanje vrijednosti na segmentu, preporučuje se korištenje sljedeće sheme:

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite kritične tačke funkcije gdje je =0 ili ne postoji.

3. Pronađite vrijednosti funkcije u kritičnim tačkama i na krajevima segmenta i od njih izaberite najveći f max i najmanji f min.

Prilikom rješavanja primijenjenih problema, posebno optimizacijskih, bitni su problemi nalaženja najveće i najmanje vrijednosti (globalnog maksimuma i globalnog minimuma) funkcije na intervalu X. Za rješavanje takvih problema treba, na osnovu uvjeta , odaberite nezavisnu varijablu i izrazite vrijednost koja se proučava kroz ovu varijablu. Zatim pronađite željenu maksimalnu ili minimalnu vrijednost rezultirajuće funkcije. U ovom slučaju, interval promjene nezavisne varijable, koji može biti konačan ili beskonačan, također se određuje iz uslova zadatka.

Primjer. Rezervoar, koji ima oblik pravougaonog paralelepipeda sa četvrtastim dnom, otvorenim na vrhu, mora biti iznutra kalajisan limom. Koje bi trebale biti dimenzije rezervoara kapaciteta 108 litara. vode tako da je trošak njenog konzerviranja najmanji?

Rješenje. Trošak oblaganja rezervoara limom bit će najniži ako je za dati kapacitet njegova površina minimalna. Označite sa dm - strana baze, b dm - visina rezervoara. Tada je površina S njegove površine jednaka

I

Rezultirajuća relacija uspostavlja odnos između površine rezervoara S (funkcija) i strane baze a (argument). Istražujemo funkciju S za ekstrem. Pronađite prvi izvod, izjednačite ga sa nulom i riješite rezultirajuću jednačinu:

Stoga je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Primjer. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije između.

Rješenje: Navedena funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj osi. Izvod funkcije

Derivat na i na . Izračunajmo vrijednosti funkcije u ovim tačkama:

.

Vrijednosti funkcije na krajevima datog intervala su jednake . Dakle, najveća vrijednost funkcije je na , najmanja vrijednost funkcije je na .

Pitanja za samoispitivanje

1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za otkrivanje nesigurnosti oblika . Lista Razne vrste neizvjesnosti, za čije se otkrivanje može koristiti L'Hopitalovo pravilo.

2. Formulirajte znakove rastuće i opadajuće funkcije.

3. Definirajte maksimum i minimum funkcije.

4. Formulirajte neophodan uslov za postojanje ekstrema.

5. Koje vrijednosti argumenta (koje tačke) se nazivaju kritičnim? Kako pronaći ove tačke?

6. Koji su dovoljni znaci postojanja ekstremuma funkcije? Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije za ekstrem koristeći prvi izvod.

7. Nacrtajte shemu za proučavanje funkcije za ekstrem koristeći drugi izvod.

8. Definirati konveksnost, konkavnost krive.

9. Koja je tačka pregiba grafa funkcije? Navedite kako pronaći ove tačke.

10. Formulirati potrebne i dovoljne znakove konveksnosti i konkavnosti krive na datom segmentu.

11. Definirajte asimptotu krive. Kako pronaći vertikalne, horizontalne i kose asimptote grafa funkcije?

12. Ocrtajte opštu šemu za istraživanje funkcije i konstruisanje njenog grafa.

13. Formulirajte pravilo za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije na datom segmentu.

Pogledajmo kako istražiti funkciju koristeći graf. Ispada da gledajući grafikon možete saznati sve što nas zanima, naime:

• opseg funkcije
• opseg funkcija
• nule funkcije
• periodi porasta i smanjenja
• visoke i niske tačke
• najveća i najmanja vrijednost funkcije na segmentu.

Da pojasnimo terminologiju:

Abscisa je horizontalna koordinata tačke.
Ordinate- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna osa, koja se najčešće naziva osa.
Y-osa- vertikalna osa, odnosno osa.

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće indicirano.
Drugim riječima, mi sami biramo , zamjenjujemo u formulu funkcije i dobivamo .

Domain funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označeno: ili .

Na našoj slici, domen funkcije je segment. Na ovom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje ova funkcija postoji.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici, ovo je segment - od najniže do najveće vrijednosti.

Funkcija nule- tačke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici, to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici, to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Imamo ovaj interval (ili interval) od do.

Najvažniji koncepti - rastuća i opadajuća funkcija na nekom setu. Kao skup, možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijelu brojevnu pravu.

Funkcija povećava

Drugim riječima, što više, to više, odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija opadajući na skupu ako za bilo koji i pripada skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Grafikon ide desno i dolje.

Na našoj slici, funkcija raste na intervalu i opada na intervalima i .

Hajde da definišemo šta je maksimalne i minimalne tačke funkcije.

Maksimalni poen- ovo je unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, maksimalna tačka je takva tačka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susednim. Ovo je lokalno "brdo" na grafikonu.

Na našoj slici - maksimalna tačka.

Niska tačka- unutrašnja tačka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim tačkama koje su joj dovoljno blizu.
To jest, minimalna tačka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu je ovo lokalna „rupa“.

Na našoj slici - minimalna tačka.

Tačka je granica. To nije unutrašnja tačka domene definicije i stoga se ne uklapa u definiciju maksimalne tačke. Na kraju krajeva, ona nema komšije sa leve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna tačka na našem grafikonu.

Maksimalni i minimalni bodovi se zajednički nazivaju ekstremne tačke funkcije. U našem slučaju, ovo je i .

Ali šta ako trebate pronaći npr. funkcija minimum na rezu? U ovom slučaju, odgovor je: Jer funkcija minimum je njegova vrijednost u minimalnoj tački.

Slično, maksimum naše funkcije je . Doseže se na tački.

Možemo reći da su ekstremi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima morate pronaći najveća i najmanja vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne poklapaju se nužno s ekstremima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu je jednak i poklapa se sa minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu je jednaka . Dostiže se na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu se postižu ili u tačkama ekstrema ili na krajevima segmenta.

Sa ovom uslugom možete pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije jedna varijabla f(x) sa dizajnom rješenja u Wordu. Ako je zadana funkcija f(x,y), potrebno je pronaći ekstremum funkcije dvije varijable. Također možete pronaći intervale povećanja i smanjenja funkcije.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije

y=

na segmentu [ ;]

Uključi teoriju

Pravila unosa funkcije:

Neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Jednadžba f "0 (x *) \u003d 0 je neophodan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable, tj. u tački x * prvi izvod funkcije mora nestati. Odabire stacionarne tačke x c ​​u kojima funkcija ne povećava se i ne smanjuje.

Dovoljan uslov za ekstremum funkcije jedne varijable

Neka je f 0 (x) dva puta diferencibilan u odnosu na x koji pripada skupu D . Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tada je tačka x * tačka lokalnog (globalnog) minimuma funkcije.

Ako je u tački x * ispunjen uslov:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Ta tačka x * je lokalni (globalni) maksimum.

Primjer #1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije: na segmentu.
Rješenje.

Kritična tačka je jedan x 1 = 2 (f'(x)=0). Ova tačka pripada segmentu . (Tačka x=0 nije kritična, jer je 0∉).
Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta i na kritičnoj tački.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 za x=2; f max =9 pri x=1

Primjer #2. Koristeći derivacije višeg reda, pronađite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
Rješenje.
Pronađite izvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Nađimo kritične tačke: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nalazimo y''=2sin(x), izračunajmo , pa su x= π / 3 +2πk, k∈Z minimalne tačke funkcije; , pa su x=- π / 3 +2πk, k∈Z maksimalne tačke funkcije.

Primjer #3. Istražiti funkciju ekstrema u okolini tačke x=0.
Rješenje. Ovdje je potrebno pronaći ekstreme funkcije. Ako je ekstrem x=0, onda saznajte njegov tip (minimum ili maksimum). Ako među pronađenim tačkama nema x = 0, onda izračunajte vrijednost funkcije f(x=0).
Treba napomenuti da kada derivacija na svakoj strani date tačke ne promijeni svoj predznak, moguće situacije nisu iscrpljene čak ni za diferencijabilne funkcije: može se dogoditi da za proizvoljno malo susjedstvo na jednoj strani tačke x 0 ili na obje strane derivacija mijenja predznak. U ovim tačkama, potrebno je primijeniti druge metode za proučavanje funkcija do ekstrema.

U ovom članku govorit ću o tome kako primijeniti sposobnost traženja na proučavanje funkcije: pronaći njezinu najveću ili najmanju vrijednost. A onda ćemo riješiti nekoliko problema iz zadatka B15 iz otvorene banke zadataka za .

Kao i obično, počnimo prvo s teorijom.

Na početku svakog proučavanja funkcije nalazimo je

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, morate istražiti na kojim intervalima funkcija raste, a na kojima opada.

Da biste to učinili, morate pronaći derivaciju funkcije i proučiti njene intervale konstantnog predznaka, odnosno intervale na kojima derivacija zadržava svoj predznak.

Intervali na kojima je derivacija funkcije pozitivna su intervali rastuće funkcije.

Intervali na kojima je derivacija funkcije negativna su intervali opadajuće funkcije.

1 . Rešimo zadatak B15 (br. 245184)

Da bismo to riješili, slijedit ćemo sljedeći algoritam:

a) Pronađite domenu funkcije

b) Naći derivaciju funkcije .

c) Postavite ga jednakim nuli.

d) Nađimo intervale konstantnog predznaka funkcije.

e) Pronađite tačku u kojoj funkcija poprima najveću vrijednost.

f) Pronađite vrijednost funkcije u ovoj tački.

Detaljno rješenje ovog zadatka iznosim u VIDEO LEKCIJI:

Vjerovatno vaš pretraživač nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat objedinjenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

2. Rešimo zadatak B15 (br. 282862)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Očigledno je da funkcija zauzima najveću vrijednost na segmentu u tački maksimuma, na x=2. Pronađite vrijednost funkcije u ovom trenutku:

Odgovor: 5

3 . Rešimo zadatak B15 (br. 245180):

Pronađite najveću vrijednost funkcije

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Pošto je opseg originalne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Brojilac je nula na . Provjerimo da li ODZ pripada funkciji. Da biste to uradili, proverite da li je uslov title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

tako da tačka pripada ODZ funkcije

Ispitujemo znak derivacije desno i lijevo od tačke:

Vidimo da funkcija uzima najveću vrijednost u tački . Sada pronađimo vrijednost funkcije na :

Napomena 1. Imajte na umu da u ovom problemu nismo pronašli domen funkcije: samo smo fiksirali ograničenja i provjerili da li tačka u kojoj je derivacija jednaka nuli pripada domenu funkcije. U ovom problemu to se pokazalo dovoljnim. Međutim, to nije uvijek slučaj. Zavisi od zadatka.

Napomena 2. Prilikom proučavanja ponašanja složene funkcije može se koristiti sljedeće pravilo:

• ako se vanjska funkcija složene funkcije povećava, tada funkcija poprima svoju najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutrašnja funkcija poprima najveću vrijednost. Ovo slijedi iz definicije rastuće funkcije: funkcija raste na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
• ako se vanjska funkcija kompleksne funkcije smanjuje, tada funkcija poprima najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutrašnja funkcija poprima najmanju vrijednost . Ovo slijedi iz definicije opadajuće funkcije: funkcija se smanjuje na intervalu I ako veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije

U našem primjeru, vanjska funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Pod znakom logaritma je izraz - kvadratni trinom, koji sa negativnim višim koeficijentom uzima najveću vrijednost u tački . Zatim, ovu vrijednost x zamjenjujemo u jednadžbu funkcije i pronađite njegovu najveću vrijednost.