Карл Шварцшільд: астрономія, артилерія, чорні дірки. Шварцшильда простір-час Метрика шварцшильда в декартових координатах

Об'єкти називали «зірки, що сколапсували» або «колапсари» (від англ. collapsed stars), а також «застиглі зірки» (англ. frozen stars).

Питання реальному існування чорних дірок відповідно до даним визначенням багато в чому пов'язані з тим, наскільки вірна теорія гравітації, з якої існування таких об'єктів випливає. У сучасній фізиці стандартною теорією гравітації, найкраще підтвердженої експериментально, є загальна теорія відносності (ОТО), хоча існування чорних дірок можливе і в рамках інших (не всіх) теоретичних моделей гравітації (див. Теорії гравітації). Тому спостережливі дані аналізуються й інтерпретуються, передусім, у її контексті, хоча, суворо кажучи, ця теорія перестав бути експериментально підтвердженої умов, відповідних області простору-часу у безпосередній близькості до чорної дірки. Тому твердження про безпосередні докази існування чорних дірок, у тому числі і в цій статті нижче, строго кажучи, слід розуміти в сенсі підтвердження існування об'єктів, таких щільних і масивних, а також які мають інші спостерігаються властивості, що їх можна інтерпретувати як чорні діри загальної теорії відносності.

Крім того, чорними дірками часто називають об'єкти, які не суворо відповідають даному вище визначенню, а лише наближаються за своїми властивостями до такої чорної діри ОТО, наприклад, зірки, що колапсують, на пізніх стадіях колапсу. У сучасній астрофізиці цій відмінності не надається великого значення, тому що спостережні прояви «зірки, що майже сколапсувала» («замороженої») і «справжньої» чорної діри практично однакові.

Історія уявлень про чорні діри

В історії уявлень про чорні діри виділяють три періоди:

• Початок першого періоду пов'язане з опублікованою в 1784 роботою Джона Мічелла, в якій був викладений розрахунок маси для недоступного спостереженню об'єкта.
• Другий період пов'язані з розвитком загальної теорії відносності, стаціонарне рішення рівнянь якої було отримано Карлом Шварцшильдом 1915 року.
• Публікація в 1975 році роботи Стівена Хокінга, в якій він запропонував ідею про випромінювання чорних дірок, починає третій період. Кордон між другим і третім періодами є досить умовним, оскільки не відразу стали зрозумілими всі наслідки відкриття Хокінга, вивчення яких триває досі.

«Чорна зірка» Мічелла

«Чорна діра» Мічелла

У ньютонівському полі тяжіння для частинок, що спочивають на нескінченності, з урахуванням закону збереження енергії:

,

.

Нехай гравітаційний радіус - відстань від маси, що тяжіє, на якому швидкість частинки стає рівною швидкості світла . Тоді.

Концепція масивного тіла, гравітаційне тяжіння якого настільки велике, що швидкість, необхідна подолання цього тяжіння (друга космічна швидкість), дорівнює чи перевищує швидкість світла , вперше було висловлено 1784 року Джоном Мічеллом у листі, що він надіслав Королівське суспільство . Лист містив розрахунок, з якого випливало, що для тіла з радіусом у 500 сонячних радіусів і з щільністю Сонця друга космічна швидкість на його поверхні дорівнюватиме швидкості світла . Таким чином, світло не зможе покинути це тіло, і воно буде невидимим. Мічелл припустив, що в космосі може існувати безліч таких недоступних спостережень об'єктів. У 1796 році Лаплас включив обговорення цієї ідеї у свою працю "Exposition du Systeme du Monde", проте в наступних виданнях цей розділ був опущений.

Після Лапласа до Шварцшильда

Протягом XIX століття ідея тіл, невидимих ​​внаслідок своєї масивності, не викликала великого інтересу вчених. Це було з тим, що у рамках класичної фізики швидкість світла немає фундаментального значення. Однак наприкінці XIX - початку XX століття було встановлено, що сформульовані Дж. Максвеллом закони електродинаміки, з одного боку, виконуються у всіх інерційних системах відліку, а з іншого боку, не мають інваріантності щодо перетворень Галілея. Це означало, що уявлення, що склалися у фізиці, про характер переходу від однієї інерційної системи відліку до іншої потребують значного коригування.

У ході подальшої розробки електродинаміки Г. Лоренцем було запропоновано нову систему перетворень просторово-часових координат (відомих сьогодні як перетворення Лоренца), щодо яких рівняння Максвелла залишалися інваріантними. Розвиваючи ідеї Лоренца, А. Пуанкаре припустив, що інші фізичні закони також інваріантні щодо цих перетворень.

Викривлення простору

(Псевдо)римановими називаються простори, які в малих масштабах поводяться «майже» як звичайні (псевдо)евклідові. Так, на невеликих ділянках сфери теорема Піфагора та інші факти геометрії Евкліда виконуються з дуже великою точністю. Свого часу ця обставина і дозволила побудувати геометрію евкліди на основі спостережень над поверхнею Землі (яка насправді не є плоскою, а близька до сферичної). Ця ж обставина зумовила і вибір саме псевдоріманових (а не будь-яких ще) просторів як основний об'єкт розгляду в ОТО: властивості невеликих ділянок простору-часу не повинні відрізнятися від відомих зі СТО.

Однак у великих масштабах риманові простори можуть сильно відрізнятися від евклідових. Однією з основних характеристик такої відмінності є поняття кривизни. Суть його полягає в наступному: евклідові простори мають властивість абсолютного паралелізму: вектор X" , що отримується в результаті паралельного перенесення вектора Xуздовж будь-якого замкнутого шляху, збігається з вихідним вектором X. Для ріманових просторів це не завжди так, що може бути легко показано на наступному прикладі. Припустимо, що спостерігач став на перетині екватора з нульовим меридіаном на схід і почав рухатися вздовж екватора. Дійшовши до точки з довготою 180°, він змінив напрямок руху і почав рухатися меридіаном на північ, не змінюючи напряму погляду (тобто тепер він дивиться вправо по ходу). Коли він таким чином перейде через північний полюс і повернеться до вихідної точки, то виявиться, що він стоїть обличчям на захід (а не на схід, як спочатку). Інакше висловлюючись, вектор, паралельно перенесений вздовж маршруту спостерігача, «прокрутився» щодо вихідного вектора. Характеристикою величини такого «прокручування» є кривизна.

Розв'язання рівнянь Ейнштейна для чорних дірок

Стаціонарні рішення для чорних дірок у рамках ОТО характеризуються трьома параметрами: масою ( M), моментом імпульсу ( L) та електричним зарядом ( Q), які складаються з відповідних характеристик тіл, що впали в неї, і випромінювання. Будь-яка чорна діра прагне відсутність зовнішніх впливів стати стаціонарною, що було доведено зусиллями багатьох фізиків-теоретиків, з яких особливо слід відзначити внесок нобелівського лауреата Субраманьяна Чандрасекара, перу якого належить фундаментальна для цього напряму монографія «Математична теорія чорних».

Розв'язання рівнянь Ейнштейна для чорних дірок з відповідними характеристиками:

Рішення для чорної діри, що обертається, надзвичайно складно. Цікаво, що найскладніший вид рішення був «вгаданий» Керром із «фізичних міркувань». Перший послідовний висновок рішення Керра був вперше виконаний С. Чандрасекар більш ніж на п'ятнадцять років пізніше. Вважається, що найбільше значення для астрофізики має рішення Керра, тому що заряджені чорні дірки повинні швидко втрачати заряд, притягуючи та поглинаючи протилежно заряджені іони та пил із космічного простору. Існує також теорія, що пов'язує гамма-сплески з процесом вибухової нейтралізації заряджених чорних дірок шляхом народження з вакууму електрон-позитронних пар і падіння однієї з частинок на дірку з відходом другої на нескінченність (Р. Руффіні зі співробітниками).

Рішення Шварцшильда

Об'єкти, розмір яких найбільш близький до свого радіусу Шварцшильда, але які ще не є чорними дірками - це нейтронні зірки.

Можна запровадити поняття «середньої щільності» чорної дірки, поділивши її масу на обсяг, укладений під обрієм подій:

Середня щільність падає із зростанням маси чорної дірки. Так, якщо чорна діра з масою порядку сонячної має щільність, що перевищує ядерну щільність, то надмасивна чорна діра з масою в 10 9 сонячних мас (існування таких чорних дірок підозрюється в квазарах) має середню щільність близько 20 кг/м³, що істотно менше щільності !

Таким чином, чорну дірку можна отримати не тільки стисненням наявного обсягу речовини, а й екстенсивним шляхом, накопиченням величезної кількості матеріалу.

Для точного опису реальних чорних дірок необхідний облік квантових поправок, а також моменту імпульсу. Біля горизонту подій сильні квантові ефекти, пов'язані з матеріальними полями (електромагнітне, нейтринне тощо). Враховує це теорію (тобто ОТО, у якій права частина рівнянь Ейнштейна є середнє за квантовим станом від тензора енергії-імпульсу) зазвичай називають «напівкласичною гравітацією».

Рішення Райсснера - Нордстрема

Це статичне розв'язання рівнянь Ейнштейна для сферично-симетричної чорної діри із зарядом, але без обертання.

Метрика чорної діри Райсснера - Нордстрема:

c− швидкість світла, м/с, t− тимчасова координата (час, що вимірюється на нескінченно віддаленому годиннику), в секундах, r− радіальна координата (довжина «екватора», поділена на 2π ), в метрах, θ − географічна широта (кут від півночі), у радіанах, − довгота , у радіанах, r s− радіус Шварцшильда (в метрах) тіла з масою M , r Q− масштаб довжини (в метрах), що відповідає електричному заряду Q(Аналог радіуса Шварцшильда, тільки не для маси, а для заряду) визначається як де - це постійна Кулона.

Параметри чорної діри не можуть бути довільними. Максимальний заряд, який може мати ЧД Райсснера - Нордстрема, дорівнює , де e- Заряд електрона. Це окремий випадок обмеження Керра - Ньюмена для ЧД з нульовим кутовим моментом ( J= 0, тобто без обертання).

Однак слід зауважити, що в реалістичних ситуаціях (див.: Принцип космічної цензури) чорні дірки не повинні бути значно заряджені.

Рішення Керра

Керрівська чорна діра має низку чудових властивостей. Навколо горизонту подій існує область, звана ергосферою, усередині якої неможливо спочивати щодо віддалених спостерігачів, а лише обертатися навколо чорної дірки у напрямі її обертання. Цей ефект називається «захопленням інерційної системи відліку» (англ. frame-dragging) і спостерігається навколо будь-якого масивного тіла, що обертається, наприклад, навколо Землі або Сонця, але в набагатоменшою мірою. Однак саму ергосферу ще можна покинути, ця область не є захоплюючою. Розміри ергосфери залежить від кутового моменту обертання.

Параметри чорної дірки неможливо знайти довільними (див.: Принцип космічної цензури). При J max = M 2 метрика називається граничним рішенням Керра. Це окремий випадок обмеження Керра - Ньюмена, для ЧД з нульовим зарядом ( Q = 0 ).

Це та інші рішення типу «чорна діра» породжують дивовижну геометрію простору-часу. Однак потрібен аналіз стійкості відповідної конфігурації, яка може бути порушена рахунок взаємодії з квантовими полями та інших ефектів.

Для простору-часу Керра цей аналіз був проведений Субраманіяном Чандрасекаром і було виявлено, що керрівська чорна діра – її зовнішня область – є стійкою. Аналогічно, як окремі випадки, виявилися стійкими шварцшильдівські та рейсснер-нордстремівські дірки. Однак аналіз простору часу Керра - Ньюмена все ще не проведено через великі математичні труднощі.

Рішення Керра - Ньюмена

Трипараметричне сімейство Керра - Ньюмена - найбільш загальне рішення, що відповідає кінцевому стану рівноваги чорної дірки. У координатах Бойєра - Ліндквіста (Boyer - Lindquist) метрика Керра - Ньюмена дається виразом:

З цієї простої формули легко випливає, що горизонт подій знаходиться на радіусі: .

І отже параметри чорної діри не можуть бути довільними. Електричний заряд і кутовий момент не можуть бути більшими за значення, що відповідають зникненню горизонту подій. Повинні виконуватися такі обмеження:

- це обмеження Керра - Ньюмена.

Якщо ці обмеження порушаться, обрій подій зникне, і рішення замість чорної діри описуватиме так звану «голу» сингулярність, але такі об'єкти, згідно з поширеними переконаннями, у реальному всесвіті існувати не повинні. (Див.: Принцип космічної цензури, але він поки не доведений).

Метрику Керра - Ньюмена можна аналітично продовжити так, щоб з'єднати в чорній дірі безліч «незалежних» просторів. Це можуть бути як «інші» Всесвіти, так і віддалені частини нашого Всесвіту. У так одержаних просторах є замкнуті часоподібні криві: мандрівник може, в принципі, потрапити у своє минуле, тобто зустрітися із самим собою. Навколо горизонту подій ЧД, що обертається, також існує область, звана ергосферою, практично еквівалентна ергосфері з рішення Керра; стаціонарний спостерігач, що знаходиться там, повинен обертатися з позитивною кутовою швидкістю (у бік обертання ЧД).

Термодинаміка та випаровування чорних дірок

Уявлення про чорну дірку як про абсолютно поглинаючий об'єкт були скориговані С. Хокінгом у 1975 році. Вивчаючи поведінку квантових полів поблизу чорної дірки, він передбачив, що чорна діра обов'язково випромінює частки у зовнішній простір і цим втрачає масу. Цей ефект називається випромінюванням (випаром) Хокінгу. Спрощено кажучи, гравітаційне поле поляризує вакуум, у результаті можливо освіту як віртуальних, а й реальних пар частка -античастица . Одна з частинок, що виявилася трохи нижче горизонту подій, падає всередину чорної дірки, а інша, що виявилася трохи вище за горизонт, відлітає, несучи енергію (тобто частина маси) чорної дірки. Потужність випромінювання чорної дірки дорівнює

Склад випромінювання залежить від розміру чорної діри: для великих чорних дірок це в основному фотони і нейтрино, а в спектрі легких чорних дірок починають бути присутніми і важкі частки. Спектр хокінгівського випромінювання виявився суворим з випромінюванням абсолютно чорного тіла, що дозволило приписати чорній дірі температуру.

,

де - редукована постійна Планка , c- швидкість світла, k- Постійна Больцмана, G- гравітаційна постійна , M- Маса чорної дірки.

На цій основі була побудована термодинаміка чорних дірок, у тому числі введено ключове поняття ентропії чорної діри, яка виявилася пропорційною площі її горизонту подій:

де A- площу горизонту подій.

Швидкість випаровування чорної дірки тим більше, чим менші її розміри. Випаровуванням чорних дірок зоряних (і тим більше галактичних) масштабів можна знехтувати, проте для первинних і особливо для квантових чорних дірок процеси випаровування стають центральними.

За рахунок випаровування всі чорні дірки втрачають масу і час їхнього життя виявляється кінцевим:

При цьому інтенсивність випаровування наростає лавиноподібно, і заключний етап еволюції носить характер вибуху, наприклад, чорна діра масою 1000 тонн випарується за час 84 секунди, виділивши енергію, рівну вибуху приблизно десяти мільйонів атомних бомб середньої потужності.

У той самий час, великі чорні діри, температура яких нижче температури реліктового випромінювання Всесвіту (2,7 До), на етапі розвитку Всесвіту можуть лише зростати, оскільки випромінювання ними має меншу енергію, ніж поглинається. Цей процес триватиме доти, доки фотонний газ реліктового випромінювання не охолоне внаслідок розширення Всесвіту.

Без квантової теорії гравітації неможливо описати заключний етап випаровування, коли чорні дірки стають мікроскопічними (квантовими). Згідно з деякими теоріями, після випаровування має залишатися «огарок» - мінімальна планківська чорна діра.

Теореми про «відсутність волосся»

Теореми про «відсутність волосся» у чорної дірки (англ. No hair theorem) говорять про те, що у стаціонарної чорної діри зовнішніх характеристик, крім маси, моменту імпульсу та певних зарядів (специфічних для різних матеріальних полів), бути не може, і детальна інформація про матерію буде втрачена (і частково випромінювана зовні) при колапсі. Великий внесок у доказ подібних теорем для різних систем фізичних полів зробили Брендон Картер, Вернер Ізраель, Роджер Пенроуз, Петро Крушель (Chruściel), Маркус Хойслер. Зараз видається, що ця теорема вірна для відомих нині полів, хоча у деяких екзотичних випадках, аналогів яких у природі не виявлено, вона порушується.

Падіння в чорну дірку

Уявімо, як має виглядати падіння в шварцшильдівську чорну дірку. Тіло, що вільно падає під дією сил тяжіння, знаходиться в стані невагомості. Тело, що падає, буде відчувати дію приливних сил, що розтягують тіло в радіальному напрямку і стискають - в тангенціальному. Величина цих сил зростає і прагне нескінченності при . У певний момент свого часу тіло перетне обрій подій. З погляду спостерігача, який падає разом із тілом, цей момент нічим не виділено, проте повернення тепер немає. Тіло виявляється в горловині (її радіус у точці, де знаходиться тіло і є), що стискається настільки швидко, що відлетіти з неї до моменту остаточного схлопування (це і є сингулярність) вже не можна, навіть рухаючись зі швидкістю світла.

Розглянемо тепер процес падіння тіла в чорну дірку з погляду віддаленого спостерігача. Нехай, наприклад, тіло буде світиться і, крім того, посилатиме сигнали назад з певною частотою. Спочатку віддалений спостерігач бачитиме, що тіло, перебуваючи в процесі вільного падіння, поступово розганяється під дією сил тяжіння у напрямку до центру. Колір тіла не змінюється, частота сигналів, що детектуються, практично постійна. Однак, коли тіло почне наближатися до горизонту подій, фотони, що йдуть від тіла, будуть відчувати все більший і більший гравітаційний червоний зсув. Крім того, через гравітаційне поле як світло, так і всі фізичні процеси з точки зору віддаленого спостерігача йдуть все повільніше і повільніше. Здаватиметься, що тіло - у надзвичайно сплющеному вигляді - буде сповільнюватися, наближаючись до горизонту подій і, зрештою, практично зупиниться. Частота сигналу різко падатиме. Довжина хвилі світла, що випускається тілом, буде стрімко зростати, так що світло швидко перетвориться на радіохвилі і далі в низькочастотні електромагнітні коливання, зафіксувати які вже буде неможливо. Перетину тілом горизонту подій спостерігач не побачить ніколи і в цьому сенсі падіння в чорну дірку триватиме нескінченно довго. Є, однак, момент, з якого вплинути на падаюче тіло віддалений спостерігач вже зможе. Промінь світла, посланий слідом за цим тілом, його або взагалі ніколи не наздожене, або наздожене вже за горизонтом.

Аналогічно виглядатиме для віддаленого спостерігача та процес гравітаційного колапсу. Спочатку речовина ринеться до центру, але поблизу горизонту подій вона різко сповільнюватиметься, її випромінювання піде в радіодіапазон, і, в результаті, віддалений спостерігач побачить, що зірка згасла.

Модель на основі теорії струн

Група Саміра Матура розрахувала розміри кількох моделей чорних дірок за своєю методикою. Отримані результати збігалися із розмірами «горизонту подій» у традиційній теорії.

У зв'язку з цим Матур припустив, що горизонт подій насправді являє собою масу струн, що піняться, а не жорстко окреслений кордон.

Отже, згідно з цією моделлю, чорна діра насправді не знищує інформацію тому що жодної сингулярності в чорних дірах немає. Маса струн розподіляється по всьому об'єму до горизонту подій і інформація може зберігатися в струнах і передаватися вихідним випромінюванням Хокінга (а отже виходити за горизонт подій).

Ще один варіант запропонував Гері Горовіц з Університету Каліфорнії в Санта-Барбарі та Хуан Малдасена з Прінстонівський Інститут передових досліджень. На думку цих дослідників, сингулярність у центрі чорної діри існує, проте інформація до неї просто не потрапляє: матерія йде в сингулярність, а інформація – шляхом квантової телепортації – друкується на випромінюванні Хокінга.

Чорні дірки у Всесвіті

З часу теоретичного передбачення чорних дірок залишалося відкритим питання про їхнє існування, оскільки наявність рішення типу «чорна діра» ще не гарантує, що існують механізми утворення подібних об'єктів у Всесвіті. Відомі, однак, механізми, які можуть призводити до того, що деяка областьпростору-часу матиме ті ж властивості (ту ж геометрію), що й відповідна областьу чорної дірки. Так, наприклад, в результаті колапсу зірки може сформуватися простір-час, показаний на малюнку.

Колапс зірки. Метрика за межами затіненої області нам невідома (або нецікава)

Зображена темним кольором область заповнена речовиною зірки і метрика визначається властивостями цієї речовини. А ось світло-сіра область збігається з відповідною областю простору Шварцшильда, див. вище. Саме про такі ситуації в астрофізиці говорять, як про утворення чорних дірок, що з формальноїточки зору є деякою вільністю мови. Зовні, тим не менш, вже дуже скоро цей об'єкт стане практично невідмінним від чорної діри по всіх своїх властивостях, тому даний термін застосуємо до конфігурації, що виходить, з дуже великим ступенем точності.

За сучасними уявленнями, є чотири сценарії освіти чорної діри:

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/98/b81b094b46e9f548a51e83931dca770b.png" border="0">

Чорні діри зоряних мас

Чорні діри зоряних мас утворюються як кінцевий етап життя зірки, після повного вигоряння термоядерного палива та припинення реакції зірка теоретично повинна почати остигати, що призведе до зменшення внутрішнього тиску та стиску зірки під дією гравітації. Стиснення може зупинитися на певному етапі, а може перейти в стрімкий гравітаційний колапс. Залежно від маси зірки та обертального моменту можливі такі кінцеві стани:

• Згасла дуже щільна зірка, що складається в основному, залежно від маси, з гелію, вуглецю, кисню, неону, магнію, кремнію або заліза (основні елементи перераховані в порядку зростання маси залишку зірки).
• Білий карлик, маса якого обмежується зверху межею Чандрасекара.
• Нейтронна зірка, маса якої обмежена межею Оппенгеймера-Волкова.
• Чорна діра.

У міру збільшення маси залишку зірки відбувається рух рівноважної конфігурації вниз викладеної послідовності. Обертальний момент збільшує граничні маси на кожному щаблі, але не якісно, ​​а кількісно (максимум у 2-3 рази).

Умови (головним чином, маса), за яких кінцевим станом еволюції зірки є чорна діра, вивчені недостатньо добре, тому що для цього необхідно знати поведінку та стан речовини при надзвичайно високих густинах, недоступних експериментальному вивченню. Додаткові складності представляє моделювання зірок на пізніх етапах їх еволюції через складність хімічного складу, що виникає, і різкого зменшення характерного часу протікання процесів. Досить згадати, що одні з найбільших космічних катастроф, спалахи наднових, виникають саме на цих етапах еволюції зірок. Різні моделі дають нижню оцінку маси чорної діри, що утворюється в результаті гравітаційного колапсу, від 2,5 до 5,6 мас Сонця. Радіус чорної дірки при цьому дуже малий – кілька десятків кілометрів.

Згодом чорна діра може розросттися рахунок поглинання речовини - зазвичай, це газ сусідньої зірки в подвійних зоряних системах (зіткнення чорної діри з будь-яким іншим астрономічним об'єктом дуже малоймовірно через її малого діаметра). Процес падіння газу на будь-який компактний астрофізичний об'єкт, у тому числі і на чорну дірку, називається

У 1916 р., лише через кілька місяців після того, як Ейнштейн опублікував свої рівняння гравітаційного поля в загальній теорії відносності, німецький астроном Карл Шварцшильд знайшов рішення цих рівнянь, що описує найпростішу чорну дірку. Шварцшильдівська чорна діра "проста" у тому сенсі, що вона сферично симетрична (тобто у неї немає "переважного" напрямку, скажімо осі обертання) і характеризується лише масою. Тому тут не враховуються ті ускладнення, які вносять обертання, електричний заряд та магнітне поле.

Починаючи з 1924 р. фізики та математики почали усвідомлювати, що у шварцшильдівському рішенні рівнянь гравітаційного поля є щось незвичне. Зокрема, це рішення має математичну особливість на горизонті подій. Сер Артур Еддінгтон був першим, хто підібрав нову систему координат, в якій цей ефект відсутній. У 1933 р. Жорж Леметр просунув ці дослідження далі. Однак лише Джон Лайтон Сінг розкрив (1950 р.) справжню сутність геометрії шварцшильдівської чорної діри, відкривши тим самим шляхи для подальших важливих робіт М. Д. Крускала та Г. Секереша в 1960 р.

Щоб розібратися в деталях, виберемо перш за все трьох хлопців – Борю, Васю та Машу – і уявімо, що вони ширяють у космосі (рис. 9.1). Завжди можна взяти в космосі довільну точку та визначити положення всіх трьох, вимірюючи відстані від них до цієї точки. Наприклад, Боря знаходиться на відстані 1 км від цієї довільної початкової точки відліку, Вася – за 2 км, а Маша – за 4 км. Характеристику становища у разі зазвичай позначають буквою rі називають радіальною відстанню. Таким шляхом можна виразити відстань до будь-якого об'єкта у Всесвіті.

Зауважимо тепер, що наші три приятеля нерухомі у просторі, але "переміщаються" у часі, бо стають дедалі старшими. Цю особливість можна зобразити на просторово-часовій діаграмі (рис. 9.2). Відстань від довільної початкової точки відліку ("початку") до іншої точки у просторі відкладається тут уздовж горизонтальної осі, а час – уздовж вертикалі. Крім того, як і в приватній теорії відносності, зручно взяти на координатних осях цього графіка такі масштаби, щоб промені світла описувалися прямий з нахилом 45њ. На такій діаграмі простору-часу світові лінії всіх трьох хлопців ідуть вертикально вгору. Вони весь час залишаються на тих самих відстанях від точки початку ( r = 0), але поступово стають дедалі старшими.

Важливо усвідомити, що лівіше точки r = 0 на рис. 9.2 взагалі нічого немає. Ця область відповідає чомусь, що можна назвати "негативним простором". Оскільки неможливо перебувати " з відривом мінус 3 м " від будь-якої точки (початку відліку), то відстані від початку завжди виражаються позитивними числами.

Перейдемо тепер до шварцшильдівської чорної діри. Як уже говорилося в попередньому розділі, така дірка складається з сингулярності, оточеної горизонтом подій на відстані 1 шварцшильдівського радіусу. Зображення такої чорної дірки у просторі дано на рис. 9.3 ліворуч. При зображенні чорної діри на просторово-часовій діаграмі довільну точку початку відліку координат для зручності сумісний із сингулярністю. Тоді відстані вимірюються безпосередньо від сингулярності за радіусом. Діаграма простору-часу, що вийшла, зображена на рис. 9.3 праворуч. Подібно до того, як наші приятелі Боря, Вася та Маша зображуються на рис. 9.2 вертикальними світовими лініями, світова лінія горизонту подій йде вертикально вгору точно на 1 шварцшильдовський радіус правіше світової лінії сингулярності, яка на рис. 9.3 зображена пилкоподібною лінією.

Хоча у рис. 9.3, що зображує шварцшильдівську чорну дірку в просторі-часі, ніби немає нічого загадкового, до початку 1950-х років фізики почали розуміти, що цією діаграмою суть справи не вичерпується. Чорна діра має різні області простору-часу: перша між сингулярністю і горизонтом подій і друга за межами горизонту подій. Ми не змоглиповністю висловити у правій частині рис. 9.3, як саме пов'язані між собою ці сфери.

Щоб розібратися у взаємозв'язку між областями простору-часу всередині та поза горизонтом подій, уявімо собі чорну дірку з масою в 10 сонячних мас. Нехай із сингулярності вилітає астроном, пролітає через обрій подій назовні, піднімається на максимальну висоту в 1 мільйон кілометрів над чорною діркою, а потім падає назад, крізь обрій подій, і знову падає у сингулярність. Політ астронома зображено на рис. 9.4.

Уважному читачеві це може здатися неможливим – адже із сингулярності вискочити взагалі не можна! Обмежимося тим, що пошлемося на чисто математичнуможливість такої подорожі. Як стане видно з подальшого, повне рішення Шварцшильда містить як чорну, такта білу дірку. Тому протягом кількох наступних розділів від читача буде потрібно терпіння та увага. Тут і в наступних розділах ми ілюструватимемо виклад за допомогою подорожей астрономів або космонавтів до чорних дірок. Для зручності говоритимемо про космонавта просто "він".

Астроном-мандрівник має годинник, щоб вимірювати свій власний час. У домосідів-вчених, які стежать за його польотом з відстані 1 мільйон кілометрів від чорної дірки, теж є годинник. Простір там плоский, і годинник вимірює координатний час. Досягши найвищої точки траєкторії (на відстані мільйона кілометрів від чорної діри) Усегодинник ставиться на той самий момент (синхронізується) і тепер показує 12 год дня. Тоді можна обчислити, в який момент (як за власним часом мандрівника, так і за координатним часом) астроном потрапить у кожен пункт своєї траєкторії, що цікавить нас.

Нагадаємо, що годинник астронома вимірює його власний час. Тому за ними не можна помітити "уповільнення перебігу часу", обумовленого ефектом гравітаційного червоного усунення. При заданих значеннях маси чорної дірки та висоти над нею найвищої точки шляху розрахунки призводять до наступного результату:

У своєму часі астронома

1. Астроном вилітає з сингулярності об 11 год 40 хв ранку (за своїм годинником).
2. Через 1/10 000 з після 11 год 40 хв він перелітає через обрій подій у зовнішній світ.
3. О 12 годині дня він досягає максимальної висоти в 1 мільйон кілометрів над чорною діркою.
4. За одну 1/10 000 с до 12 год 20 хв дня він перетинає обрій подій, рухаючись усередину.
5. Астроном повертається у сингулярність о 12 год 20 хв дня.

Іншими словами, на рух від сингулярності до горизонту подій і назад йому потрібно один і той же час - 1/10 000 с, тоді як на переміщення від горизонту подій до найвищої точки своєї траєкторії і навпаки він витрачає щоразу 20 хв (за 20 хв він проходить 1 мільйон кілометрів). Слід пам'ятати, що час при польоті тече стандартним чином.

Проводяться здалеку спостереження вчені вимірюють по своїх годинах координатний час; їх обчислення дають такі результати:

У координатному часі

Звісно, ​​всі згодні у цьому, що астроном-мандрівник досягає максимальної висоти польоту о 12 год дня, тобто. в той момент, коли синхронізуються всі годинники. Все також будуть згодні й у тому, коли астроном вилітає із сингулярності та коли він повертається до неї. Але в іншому шварцшильдівська геометрія явно ненормальна. Вилетівши із сингулярності, астроном переміщається в координатному часі назад у часідо року. Потім він знову мчить уперед у часі, досягає максимальної висоти польоту опівдні, а опускається під обрій подій на рік. Після цього він знову переміщається назад у часіі потрапляє у сингулярність о 12 год 20 хв дня. На діаграмі простору-часу його світова лінія має вигляд, показаний на рис. 9.5.

Дещо з цих дивних висновків можна зрозуміти інтуїтивно. Згадаймо, що з погляду віддаленого спостерігача (годинник якого вимірюють координатний час) на горизонті подій час зупиняється. Згадаймо також, що камінь чи будь-яке інше тіло, що падає на обрій подій, ніколине дійдуть до крапки з висотою шварцшильдівського радіусу у поданні далекого спостерігача. Тому астроном, що падає в чорну дірку, не може перетнути горизонту подій аж до року, тобто в нескінченно віддаленому майбутньому. Так як вся подорож симетрична щодо моменту 12 год дня (тобто зліт і падіння займають один і той самий час), то далекі вчені повинніспостерігати, що астроном піднімався, рухаючись до них протягом мільярдів років. Він повинен перейти назовні обрій подій на рік.

Ще незрозумілішим є той факт, що віддалені спостерігачі бачать двохрухомих астрономів. Так, наприклад, в 3 години дня вони бачать одного астронома, що падає на горизонт подій (що рухається вперед у часі). Однак, згідно з їх розрахунками, повиненіснувати й інший астроном усередині горизонту подій, що падає на сингулярність (і що рухається назад у часі).

Звичайно, це безглуздя. Точніше, така дивна поведінка координатного часу означає, що зображена на рис. 9.3 картина шварцшильдівської чорної діри просто не може бути вірною. Доводиться пошукати інші – причому їх може бути безліч – справжні діаграми простору-часу для чорної дірки. У тій простій діаграмі, що показано на рис. 9.5, одні й самі області простору-часу виявляються перекритими двічі, тому й спостерігаються відразу два астрономи у той час, як насправді існує лише один. Отже, потрібно розгорнути або перетворити цю просту картинку таким чином, щоб виявити істинну, або глобальну,структуру всього простору-часу, пов'язаного зі шварцшильдівською чорною діркою.

Щоб краще зрозуміти, як має виглядати ця глобальна картина, розглянемо обрій подій. На спрощеній двовимірній діаграмі простору-часу (див. правий бік рис. 9.3) горизонт подій це лінія, що йде від моменту (віддалене минуле) до моменту (далеке майбутнє) і знаходиться точно на відстані 1 шварцшильдівського радіусу від гуля. Така лінія, звичайно, правильно зображує розташування поверхні сфери у звичайному тривимірному просторі. Але коли фізики спробували вирахувати обсяг цієї сфери, вони, на свій подив, виявили, що він дорівнює нулю.Якщо обсяг деякої сфери дорівнює нулю, це, звичайно, просто точка. Іншими словами, фізики стали підозрювати, що дана "лінія" на спрощеній діаграмі має бути у глобальній картині чорної діри насправді точкою!

Уявіть собі до того ж довільну кількість астрономів, що вискакують із сингулярності, що злітають на різні максимальні висоти над горизонтом подій і знову падають назад. Незалежно від того, коли саме вони були викинуті із сингулярності, і від того, на яку саме висоту над обрієм подій злітали, всі вонибудуть перетинати обрій подій у моменти координатного часу (на шляху назовні) та (на зворотному шляху). В результаті проникливі фізики також запідозрять, що ці дві "точки", і, повинні бути обов'язково представлені в глобальній картині чорної дірки у вигляді двох відрізків світових ліній!

Щоб перейти від спрощеного зображення чорної діри до її глобальної картини, слід переробити наше спрощене зображення набагато складнішою діаграмою простору-часу. І все ж таки нашим кінцевим результатом виявиться нова просторово-часова діаграма! На цій діаграмі просторовоподібні величини будуть спрямовані горизонтально (зліва направо), а тимчасовоподібні величини – вертикально (знизу догори). Іншими словами, перетворення має спрацювати так, щоб старіпросторова та тимчасова координати були замінені на новіпросторову та тимчасову координати, які відбивали б цілком істинну природу чорної дірки.

Щоб постаратися зрозуміти, як можуть бути пов'язані між собою стара і нова система координат, розглянемо якогось спостерігача поблизу чорної дірки. Щоб уникнути падіння на чорну дірку і залишатися на постійній відстані від неї, він повинен мати потужні ракетні двигуни, що викидають потоки газів вниз. У плоскому просторі-часі, далеко від тяжіючих мас, космічний корабель при працюючих двигунах придбав би прискоренняі рухався б дедалі швидше, бо тяга ракетних двигунів забезпечила йому постійне зростання швидкості. Світова лінія такого корабля зображена на діаграмі простору-часу на рис. 9.6. Ця лінія поступово зближується з прямою, що має нахил 45њ, у міру того, як внаслідок безперервної роботи двигунів швидкість корабля наближається до швидкості світла. Крива, що зображує подібну світову лінію, називається гіперболою.Спостерігач, який знаходиться поблизу чорної діри і намагається залишитися на постійній відстані від неї, постійно відчуватиме прискорення, спричинене роботою ракетних двигунів корабля. Проникливі фізики запідозрять тому, що лінії "постійної висоти" у переглянутій та покращеній діаграмі простору-часу поблизу чорної діри будуть гілками гіперболу.

Нарешті, той спостерігач, який намагається втриматися на горизонті подій, повинен мати неймовірно потужні ракетні двигуни. Щоб він не впав усередину чорної діри, ці двигуни повинні працювати з такою потужністю, що спостерігач, якби він був у плоскому світі, рухався б зі швидкістю світла. Отже, світові лінії горизонту подій повинні бути нахилені точно під кутом 45њ в переглянутій і покращеній діаграмі простору-часу.

У 1960 р. незалежно один від одного Крускал і Секереш знайшли необхідні перетворення, що переводять стару діаграму простору-часу для шварцшильдівської чорної діри в нову діаграму - переглянуту та покращену. Ця нова діаграма Крускала-Секерешакоректно покриває весь простір-час та повністю виявляє глобальну структуру чорної дірки. При цьому підтверджуються всі зазначені раніше підозри та виявляються деякі нові дивовижні та несподівані деталі. Однак, хоча перетворення Крускала і Секереша відразу переводять стару картину в нову, наочно уявити їх краще у вигляді послідовності перетворень, схематично зображених на рис. 9.7. Кінцевий результат - це знову-таки діаграма простору-часу (просторовий напрямок горизонтальне, а тимчасове - вертикальне), причому промені світла, що йдуть до чорної дірки і від неї, зображуються, як завжди, прямими з нахилом 45њ.

Кінцевий результат перетворення вражає і спочатку викликає недовіру: ви бачите, що там зображені насправді дві сингулярності, одна в минулому, а інша в майбутньому; Крім того, далеко від чорної діри існують два зовнішні Всесвіти.

Але насправді діаграма Крускала-Секереша правильна, і, щоб зрозуміти це, ми знову розглянемо політ астронома, викинутого з сингулярності, що перетинає обрій подій і знову падає назад. Ми вже знаємо, його світова лінія на спрощеній діаграмі простору-часу незвичайна. Цю лінію знову зображено зліва на рис. 9.8. На діаграмі ж Крускала-Секереша (рис. 9.8, праворуч) така лінія виглядає набагато осмисленішою. Спостерігач насправді вискакує з сингулярності у минулому і врешті-решт потрапляє у сингулярність у майбутньому. Отже, такий "аналітично повний" опис рішення Шварцшильда включає якчорну, такта білу дірку. Наш астроном насправді вилітає з білої дірки і зрештою падає у чорну дірку. Його світова лінія скрізь нахилена до вертикалі менш ніж на 45њ, тобто. ця лінія скрізь тимчасово подібна і тому допустима. Порівнюючи ж ліву та праву частини рис. 9.8, ви виявите, що "точки" моментів часу та на горизонті подій тепер розтягнулися у дві прямі лінії, що мають нахил 45њ, що підтверджує наші колишні підозри.

При переході до діаграми Крускала-Секереша виявляється справжня природа всього простору-часу поблизу шварцшильдівської чорної діри. На спрощеній діаграмі різні ділянки простору-часу перекривалися одна з одною. Саме тому віддалені вчені, спостерігаючи падіння астронома в чорну дірку (або його виліт із неї), помилково припускали, що є дваастрономії. На діаграмі Крускала-Секереша ці ділянки, що перекриваються, належним чином розплутані. На рис. 9.9 показано, як пов'язані між собою ці різні ділянки обох типах діаграм. Зовнішні Всесвіти насправді дві (області I і III), як і внутрішні частини чорної діри (області II і IV) між сингулярностями і горизонтом подій.

Корисно також проаналізувати, як окремі частини просторово-часової сітки перетворюються під час переходу від спрощеної діаграми до діаграми Крускала-Секереша. У спрощеному поданні (рис. 9.10) штрихові лінії постійних висот над сингулярністю - це прямі, спрямовані вертикально. Пунктирні лінії постійного координатного часу також прямі, але горизонтальні. Просторово-часова сітка виглядає як шматок звичайної міліметрівки.

На діаграмі Крускала-Секереша (рис. 9.11) лінії постійного часу (пунктирні) залишилися прямими, але тепер вони розходяться під різними кутами. Лінії ж постійної відстані від чорної діри (штрихові) є гіперболи, як ми підозрювали раніше.

Аналізуючи рис. 9.11, можна зрозуміти, чому при переході через обрій подій простір і час змінюються ролями, як уже говорилося в попередньому розділі. Згадаймо, що на спрощеній діаграмі (рис. 9.10) лінії постійної відстані спрямовані по вертикалі. Так, якась конкретна штрихова лінія може зображати точку, що постійно знаходиться на висоті 10 км над чорною дірою. Така лінія має бути паралельна горизонту подій на спрощеній діаграмі, тобто. вона має бути вертикальною; оскільки вона зображує щось нерухоме у всі моменти часу, то лінія постійної відстані повинна мати тимчасово спрямований (інакше кажучи, вгору) на цій спрощеній діаграмі.

На рис. 9.11 зображено діаграму Крускала-Секереша; тут штрихові лінії постійної відстані мають загалом напрям вгору, якщо взяти їх досить далеко від чорної дірки. Там вони все ще тимчасово подібні. Однак усередині горизонту подій штрихові лінії постійної відстані орієнтовані загалом горизонтально. Отже, під горизонтом подій лінії постійної відстані мають просторовоподібний напрямок! Отже, те, що зазвичай (у зовнішньому Всесвіті) пов'язується з відстанню, поводиться всередині горизонту подій подібно до часу.

Аналогічно цьому на спрощеній діаграмі (рис. 9.10) лінії постійного часу горизонтальні і мають просторовоподібний напрямок. Наприклад, певна конкретна пунктирна лінія може означати момент "3 години дня всіх точок простору". Така лінія повинна бути паралельна до просторової осі на спрощеній діаграмі, тобто. вона має бути горизонтальною.

На рис. 9.11 де зображена діаграма Крускала-Секереша, пунктирні лінії постійного часу загалом мають просторовоподібний напрямок, якщо взяти їх далеко від чорної дірки, тобто. вони там майже горизонтальні. Але всередині горизонту подій пунктирні лінії постійного часу спрямовані загалом знизу нагору, тобто. спрямовані у временноподобном напрямі. Отже, під горизонтом подій лінії постійного часу мають тимчасовий напрямок! Отже, те, що зазвичай (у зовнішньому Всесвіті) пов'язується з часом, поводиться всередині горизонту подій подібно до відстані. При перетині обрії подій простір і час змінюються ролями.

У зв'язку з обговоренням властивостей простору та часу важливо відзначити, що на діаграмі Крускала-Секереша (рис. 9.11) обидві сингулярності (і в минулому, і в майбутньому) орієнтовані горизонтально. Обидві гіперболи, що зображають "крапку" r= 0, мають скрізь нахил менше 45њ довертикалі. Ці лінії просторовоподібні, і тому кажуть, що шварцшильдівська сингулярність просторовоподібна.

Той факт, що шварцшильдівська сингулярність просторовоподібна, призведе до важливих висновків. Як і в приватній теорії відносності (див. рис. 1.9), тут неможливо рухатися з надсвітловою швидкістю, так що просторовоподібні світові лінії як "шляхи" руху заборонені. Рухатися світовими лініями, що мають нахилом більше 45њ до вертикального (тимчасово) напрямку, неможливо. Тому неможливо потрапити з нашого Всесвіту (на діаграмі Крускала-Секереша праворуч) до іншого Всесвіту (на цій же діаграмі зліва). Будь-який шлях, що пов'язує один з одним обидва Всесвіти, повинен хоча б в одному місці бути просторовоподібним, а такі шляхи заборонені для руху. Крім того, оскільки горизонт подій нахилений точно під кутом 45?, то астроном з нашого Всесвіту, що опустився під цей горизонт, ніколи більше не зможе з-під нього вийти. Наприклад, якщо хтось проникне в область II на рис. 9.9, то Уседопустимі тимчасовоподібні світові лінії приведуть його прямо до сингулярності. Шварцшильдівська чорна діра-це пастка без виходу.

Щоб повніше відчути природу геометрії Крускала-Секереша, повчально розглянути просторовоподібні зрізи діаграми простору-часу, виконані цими авторами. Це будуть діаграми вкладеннявикривлений простір поблизу чорної дірки. Такий метод отримання зрізів простору-часу за просторовоподібними гіперповерхнями застосовувався нами і раніше (див. рис. 5.9, 5.10 і 5.11) і полегшив розуміння властивостей простору в околицях Сонця.

На рис. 9.12 зображена діаграма Крускала-Секереша, "нарізана скибочками" за характерними просторовоподібними гіперповерхнями. Зріз Авідноситься до раннього моменту часу. Спочатку два Всесвіти, що знаходяться поза чорною діркою, не пов'язані між собою. На шляху від одного Всесвіту до іншого просторовоподібний зріз наштовхується на сингулярність. Тому діаграма вкладення для зрізу Аописує дві роздільні Всесвіти (зображені у вигляді двох паралельних один одному асимптотично плоских листів), у кожному з яких є сингулярність. Пізніше за подальшої еволюції цих Всесвітів сингулярності з'єднуються і виникає місток, у якому сингулярностей вже немає. Це відповідає зрізу Б,куди сингулярність не входить З часом цей місток, або "кротова нора",розширюється і досягає найбільшого діаметра, що дорівнює двом шварцшильдівським радіусам (момент, що відповідає зрізу У).Пізніше місток починає знову стягуватися (зріз г)і нарешті розривається (зріз Д), так що ми маємо знову два роздільні Всесвіти. Така еволюція кротової нори (рис. 9.12) займає менше 1/10 000 с, якщо чорна діра має масу Сонця.

Виявлення Крускалом і Секерешем подібної глобальної структури простору-часу у чорної діри стало вирішальним проривом на фронті теоретичної астрофізики. Вперше вдалося побудувати діаграми, що повністю зображують усі області простору та часу. Але після 1960 р. було досягнуто й нових успіхів, передусім Роджером Пенроузом. Хоча на діаграмі Крускала - Секереша і представлена ​​вся історія, ця діаграма тягнеться праворуч і ліворуч нескінченно далеко. Наприклад, наш Всесвіт простягається на нескінченну відстань праворуч на діаграмі Крускала-Секереша, тоді як ліворуч на тій же діаграмі до нескінченності йде простір-час "іншого" асимптотично плоского Всесвіту, який паралельний нашому. Пенроуз першим зрозумів, наскільки корисно і повчально було б користуватися "картою", що відображає ці нескінченні простори на якісь кінцеві області, якими було б можливо точно судити про те, що відбувається далеко від чорної дірки. Щоб здійснити цю ідею, Пенроуз залучив так звані методи конформного відображення,за допомогою яких весь простір-час, включаючи повністю і обидва Всесвіти, зображується на одній кінцевій діаграмі.

Щоб познайомити вас із методами Пенроуза, звернемося до звичайного плоского простору-часу типу зображеного на рис. 9.2. Весь простір-час там зосереджено на правій стороні діаграми просто тому, що неможливо опинитися на негативній відстані довільного початку. Ви можете перебувати від нього, скажімо, за 2 м, але аж ніяк не за мінус 2 м. Повернемося до рис. 9.2. Світові лінії Борі, Васі та Маші зображені там лише на обмеженій області простору-часу через обмеженість розмірів сторінки. Якщо вам захочеться подивитися, де будуть Боря, Вася та Маша за тисячу років або де вони були мільярд років тому, вам знадобиться набагато більший аркуш паперу. Набагато зручніше було б зобразити всі ці далекі від точки "тут і тепер" положення на компактній, невеликій діаграмі.

Ми вже зустрічалися з тим, що "найвіддаленіші" області простору-часу називаються нескінченностями.Ці області дуже далекі від "тут і тепер" у просторі або в часі (останнє означає, що вони можуть перебувати в дуже далекому, майбутньому чи дуже далекому минулому). Як видно із рис. 9.13 може бути п'ять типів нескінченностей. Насамперед це I - -тимчасово нескінченність у минулому.Вона є тим "місцем", звідки походять усі матеріальні об'єкти (Боря, Вася, Маша, Земля, галактики та інше). Всі такі об'єкти рухаються тимчасово-подібними світовими лініями і повинні піти в I+ - тимчасовоподібну нескінченність майбутнього,кудись у мільярди років після "тепер". Крім того, є I 0 - просторовоподібна нескінченність,і оскільки ніщо не може рухатися швидше за світло, то ніщо (крім хіба тахіонів) не може ніколи потрапити в I 0 . Якщо швидше світла не рухається жодної з відомих фізики об'єктів, то фотони рухаються точно зі швидкістю світла по світових лініях, нахиленим на 45њ на діаграмі простору-часу. Це дає можливість запровадити " - світлову нескінченність минулого,звідки надходять усі світлові промені. Існує, нарешті, і - світлова нескінченність майбутнього(куди йдуть усі "світлові промені.) Будь-яка віддалена область простору-часу належить одній з цих п'яти нескінченностей; I -, , I 0 , або I+.

Мал. 9.13. Нескінченності.Найбільш віддалені "окраїни" простору-часу (нескінченності) поділяються на п'ять типів. Тимчасово нескінченність минулого ( I -)-та область, звідки приходять всі матеріальні тіла, а тимчасово нескінченність майбутнього ( I+)-та область, куди вони всі йдуть. Світлова нескінченність минулого () - та область, звідки приходять світлові промені, а світлова нескінченність майбутнього - та область ( I+), куди вони йдуть. Ніщо (крім тахіонів) не може потрапити в просторовоподібну нескінченність ( I 0).

Мал. 9.14. Конформне відображення Пенроузу.Існує математичний прийом, за допомогою якого вдається "стягнути" найбільш віддалені околиці простору-часу (усі п'ять нескінченностей) у цілком доступну для огляду кінцеву область.

p align="justify"> Метод Пенроуза зводиться до математичного прийому стягування всіх цих нескінченностей на один і той же аркуш паперу. Перетворення, що здійснюють таке стягування, діють на кшталт бульдозерів (див. образне уявлення цих перетворень на рис. 9.14), що згрібають найвіддаленіші ділянки простору-часу туди, де їх можна краще розглянути. Результат такого перетворення подано на рис. 9.15. Слід мати на увазі, що лінії постійної відстані від довільної точки відліку в основному вертикальні і завжди вказують на тимчасовий напрямок. Лінії постійного часу в основному горизонтальні і завжди вказують просторовоподібний напрямок.

на конформноїкарті всього плоского простору-часу (рис. 9.15) простір-час як ціле вмістилося в трикутнику. Вся тимчасово нескінченність у минулому ( I -) зібрана в одну-єдину точку внизу діаграми. Усі тимчасово подібні світові лінії всіх матеріальних об'єктів виходять із цієї точки, що зображує надзвичайно віддалене минуле. Вся тимчасово нескінченність у майбутньому ( I+) зібрана в одну-єдину точку вгорі діаграми. Тимчасово світові лінії всіх матеріальних об'єктів у Всесвіті зрештою впираються в цю точку, що зображує далеке майбутнє. Просторовоподібна нескінченність ( I 0) зібрана в крапку праворуч на діаграмі. Ніщо (крім тахіонів) ніколи не може потрапити в I 0 . Світлові нескінченності у минулому та у майбутньому і перетворилися на прямі з нахилом 45њ, що обмежують діаграму праворуч угорі і праворуч внизу по діагоналях. Світлові промені завжди йдуть світовими лініями з нахилом 45њ, так що світло, що приходить з віддаленого минулого, починає свій шлях десь на , а той, хто йде в далеке майбутнє, закінчує свій шлях десь на . Вертикальна пряма, що обмежує діаграму зліва, - це просто тимчасово подібна світова лінія обраної нами довільної початкової точки відліку ( r = 0).

Мал. 9.15. Діаграма Пенроуза для плоского простору-часу.Весь простір-час зібрано всередину трикутника за допомогою способу конформного відображення, придуманого Пенроуз. З п'яти нескінченностей три ( I -, I 0 , I+ ) стиснуті до окремих точок, а дві - світлові нескінченності і- стали прямими лініями, що мають нахил 45њ.	Мал. 9.16. Приклад конформної діаграми Пенроуз.Ця діаграма зображує практично те саме, як і рис. 9.2. Однак на конформній діаграмі світові лінії об'єктів представлені повністю (від віддаленого минулого I -до далекого майбутнього I+).

Щоб покінчити з описом конформної діаграми Пенроуза плоского «простору-часу», ми зображені на рис. 9.16 повністю світові лінії Борі, Васі та Маші. Порівняйте цю діаграму з рис. 9.2-адже це одне й те саме, тільки на конформній діаграмі світові лінії простежуються на всьому їх протязі (від віддаленого минулого I -до далекого майбутнього I+)

Зображення звичайного плоского простору-часу за способом Пенроуз не дає нічого сенсаційного. Однак спосіб Пенроуза застосовний і до чорних дірок! Зокрема, діаграму Крускала-Секереша (див. рис. 9.11) можна відобразити конформно таким чином, що фізик побачить Усепростір-час всіх Всесвітів зображений на одному-єдиному аркуші паперу. Як це наочно зображено на рис. 9.17, конформні перетворення Пенроуза тут знову працюють подібно до бульдозерів, що "згрібають" простір-час. Остаточний результат показано на рис. 9.18.

На діаграмі Пенроуза шварцшильдівської чорної діри (рис. 9.18) ми знову помічаємо, що лінії постійного часу та лінії постійної відстані поводяться по суті так само, як і на діаграмі Крускала-Секереша. Горизонт подій зберігає свій нахил в 45?, а сингулярності (як у минулому, так і в майбутньому) залишаються просторовоподібними. Обмін ролями між простором та часом, як і раніше, відбувається при перетині обрії подій. Однак тепер найвіддаленіші частини обох пов'язаних із чорною діркою Всесвітів знаходяться у нас перед очима. Всі п'ять нескінченностей нашого Всесвіту ( I -, , I 0 , , I+ ) видно праворуч на діаграмі, а зліва на ній же можна побачити всі п'ять нескінченностей іншого Всесвіту ( I -, , I 0 , , I+ ).

Ми можемо тепер перейти до заключної вправи із шварцшильдівською чорною діркою – з'ясувати, що побачать відчайдушно допитливі астрономи-камікадзе, що падають на чорну дірку та перетинаютьгоризонт подій.

Космічний корабель цих астрономів зображено на рис. 9.19. Носовий ілюмінатор завжди спрямований прямо на сингулярність, а кормовий - у протилежний бік, тобто на наш зовнішній Всесвіт. Зазначимо, що космічний корабель тепер не має ракетних двигунів для уповільнення його падіння. Почавши рух з великої висоти над чорною діркою, астрономи просто вертикально падають з швидкістю, що все збільшується (за їх вимірюванням). Їхня світова лінія (рис. 9.20) проходить спочатку через обрій подій, а потім веде в сингулярність. Так як їхня швидкість завжди менша за швидкість світла, то світова лінія корабля на діаграмі Пенроуза повинна бути тимчасовоподібною, тобто. всюди мати нахилом до вертикалі менше 45њ. Під час подорожі астрономи роблять на різних етапах шляху чотири пари фотографій – по одній із кожного ілюмінатора. Перша пара (знімки а)зроблено, коли вони були ще дуже далеко від чорної дірки. На рис. 9.21, Авидно чорну дірку як маленьку цятку в центрі поля зору носового ілюмінатора. Хоча в безпосередній близькості від чорної діри вигляд неба спотворений, його решта виглядає цілком звичайно. У міру того як швидкість падіння астрономів на чорну дірку зростає, світло від об'єктів з віддаленого Всесвіту, що спостерігається через кормовий ілюмінатор, відчуває все більш сильне червоне зміщення.

Мал. 9.21. Фото А. Далеко від чорної дірки.З великої відстані чорна діра виглядає як маленька чорна цятка в центрі поля зору носового ілюмінатора. Астрономи, що падають у дірку, спостерігають через кормовий ілюмінатор неспотворений вид Всесвіту, з якого вони прилетіли. Фото Б. Ні обрії подій.Завдяки ефекту аберації зображення чорної діри стиснуте у бік центру поля зору носового ілюмінатора. Астроном, який веде спостереження в кормовий ілюмінатор, бачить лише той Всесвіт, з якого прибув корабель. Фото В. Між горизонтом подій та сингулярністю.Опустившись під обрій подій, астроном, що спостерігає в носовий ілюмінатор, може бачити інший Всесвіт. Інше Всесвіт, що приходить з області, світ заповнює центральну частину його поля зору. Фото Г. Безпосередньо над сингулярністю.Коли астрономи наближаються до сингулярності, через носовий ілюмінатор стає все краще видно інший Всесвіт. Зображення ж власне чорної діри (що має вигляд кільця) стає все тоншим і тоншим, швидко наближаючись до краю поля зору носового ілюмінатора.

Хоча, за твердженням віддалених спостерігачів, падіння космічного корабля сповільнюється до його зупинки на горизонті подій, астрономи на самомукосмічному кораблі нічого подібного не помітять. На їхню думку, швидкість корабля постійно зростає і при перетині горизонту подій вона становить помітну частку швидкості світла. Це істотно з тієї причини, що в результаті астрономи, що падають, спостерігають явище аберації світла зірок, дуже схоже на розглянуте нами в гол. 3 (див. рис. 3.9, 3.11). Згадайте, що під час руху з навколосвітньою швидкістю ви помітите сильні спотворення картини неба. Зокрема, зображення небесних тіл ніби збираються попереду спостерігача, що рухається. Внаслідок цього ефекту зображення чорної діри концентрується ближче до середини носового ілюмінатора падаючого космічного корабля.

Картина, що спостерігається падаючими астрономами з горизонту подій, показано на рис. 9.21, Б. Цей і наступні малюнки побудовані на підставі розрахунків, зроблених Кеннінгемом у Каліфорнійському технологічному інституті в 1975 р. Якби астрономи лежали, зображення чорної діри займало б все поле зору носового ілюмінатора (рис. 8.15, Д). Але оскільки вони рухаються із великою швидкістю, зображення зосереджується у середині носового ілюмінатора. Його кутовий діаметр приблизно дорівнює 80?. Вигляд неба поруч із чорною діркою дуже сильно спотворений, а астроном, який веде спостереження через кормовий ілюмінатор, бачить лише той Всесвіт, з якого вони прилетіли.

Для розуміння того, що ж буде видно, коли корабель перебуватиме всерединігоризонту подій, повернемося до діаграми Пенроуза шварцшильдівської чорної діри (див. рис. 9.18 чи 9.20). Згадаємо, що світлові промені, що йдуть у чорну дірку, мають на цій діаграмі нахил 45њ. Тому, опинившись під горизонтом подій, астрономи зможуть бачити й інший Всесвіт. Промені світла з віддалених частин іншого Всесвіту (тобто з його нескінченності у лівій частині діаграми Пенроуза зможуть тепер дійти до астрономів. Як показано на рис. 9.21, У, у центрі поля зору носового ілюмінатора космічного корабля, що знаходиться між горизонтом подій та сингулярністю, видно інший Всесвіт. Чорна частина діри представляється тепер у вигляді кільця,відокремлює зображення нашого Всесвіту від зображення іншого Всесвіту. У міру наближення падаючих спостерігачів до сингулярності чорне кільце стає дедалі тоншим, притискаючись до краю поля зору носового ілюмінатора. Вид неба з точки прямо над сингулярністю показано на рис. 9.21, Г. У носовий ілюмінатор стає все краще і краще видно інший Всесвіт, а прямо на сингулярності її вигляд повністю заповнює поле зору носового ілюмінатора. Астроном же, який проводить спостереження через кормовий ілюмінатор, бачить протягом усього польоту лише наш зовнішній Всесвіт, хоча його зображення стає дедалі більше спотвореним.

Астрономи, що падають, відзначать ще один важливий ефект, який не відображений на "знімках" 9.21, А-Г. Згадаймо, що світло, що йде з околиць горизонту подій у віддалений Всесвіт, зазнає найсильнішого червоного зміщення. Це явище, зване гравітаційним червоним зміщенням,ми обговорювали в гол. 5 і 8. Червоне зміщення світла, що надходить з області з сильним гравітаційним полем, відповідає втраті їм енергії. Назад, коли світло "падає" на чорну дірку, він відчуває фіолетове зміщенняі набуває енергії. Слабкі радіохвилі, що приходять з віддаленого Всесвіту, туди перетворюються, наприклад, на потужні рентгенівські або гамма-промені безпосередньо над горизонтом подій. Якщо описуються діаграмами Пенроуза типу зображеної на рис. 9.18 чорні дірки справдііснують у природі, то світло, що падає на них з , накопичується протягом мільярдів років біля горизонту подій. Це падаюче світло набуває жахливої ​​енергії, і коли астрономи опускаються під горизонт подій, вони зустрічаються тому з несподіваним різким спалахом рентгенівських і гамма-променів. Те світло, яке приходить з області - рішення Шварцшильда - рішення Керра - біла діра - сингулярність

Див. також:Усі публікації на ту саму тему >>

Вирази для компонентів тензора та через функції v та А є наступними

Тільки вираз для компонента є громіздким, але так відбувається, що його точне вираз рідко буває необхідно використовувати.

Важливе положення полягає в тому, що дивергенція цього тензора повинна дорівнювати нулю. Якщо ми маємо вираз для інших компонентів, то вимога звернення до нуля дивергенції часто допомагає уникнути використання точного виразу для .

Тут можуть бути запропоновані такі вправи.

1) Довести, що якщо немає матерії всередині сфери радіусу b і розподіл матерії поза цією сферою є сферично симетричним, то простір усередині сфери - плоский з метрикою.

2) Довести, що якщо тензор енергії-імпульсу відомий всюди всередині сфери радіусу то яким би він не був поза цією сферою, це не вплине на фізику всередині сфери радіусу (передбачається, що поза цією сферою тензор енергії-імпульсу характеризується сферично симетричним розподілом.)

Рішення поза сферично-симетричним розподілом маси виходить, якщо ми покладемо вирішимо диференціальні рівняння, що вийшли.

Ми почнемо з того, що зауважимо, що залежить тільки від А. Оскільки дорівнює нулю, ми отримуємо

Множник 2 взятий для зручності, так що постійна величина є повна маса зірки, помножена на постійну гравітаційну ньютонівську. Якщо всередині сфери радіусу, де знаходиться вся маса, немає особливостей, то постійна повинна дорівнювати

(11.3.3)

Ми впевнені, що залежність від часу відсутня, оскільки

так що А взагалі не залежить від часу. Остання задача полягає в тому, щоб отримати вираз для . Ми робимо це, прирівнюючи оскільки обидві ці величини дорівнюють нулю. Звідси приходимо до висновку, що

Яке може відбуватися тільки в тому випадку, якщо функція v має такий вигляд:

(11.3.5)

де – довільна функція часу. Тим не менш, так як функція v з'являється в коефіцієнті при величині в метриці таким чином:

ми можемо виключити множник, змінюючи масштаб тимчасової координати. Інші елементи метричного тензора не змінюються при такій заміні, тому що в них включено лише функцію . Отриманий результат відомий як метрика Шварцшільда

Цікаво, що отримана метрика не залежить від часу, хоча ми ніколи не говорили про те, що шукаємо статичне рішення. Відсутність залежності від часу метрики Шварцшильда випливає з припущення про сферичну симетрію і те, що ми розглядаємо метрику в області з нульовою щільністю тиску.

Для випадку реальної зірки такої, як Сонце, точної сферичної симетрії немає, оскільки є обертання і є потовщення () на екваторі. Проте ці відмінності викликають лити невеликі відхилення від випадку сферичної симетрії. Якщо є світловий потік від зірки, то з'являтимуться інші поправки, оскільки щільність енергії не буде рівною нулю у просторі поза зіркою. Проте, рішення Шварцшильда досить точно описує ситуацію із Сонцем, отже прецесія перигелія Меркурія задається правильно у межах помилок виміру.

Див. також: Портал:Фізика

Метріка Шварцшильда- це єдине з теореми Біркхофа сферично симетричне точне рішення рівнянь Ейнштейна без космологічної константи в порожньому просторі. Зокрема, ця метрика досить точно описує гравітаційне поле відокремленої чорної діри, що не обертається і незаряджена, і гравітаційне поле зовні від відокремленого сферично симетричного масивного тіла. Названа на честь Карла Шварцшильда, який першим її виявив.

Це рішення необхідно статичним, так що сферичні гравітаційні хвилі виявляються неможливими.

Вид метрики

Шварцшильдівські координати

У так званих Шварцшильдівських координатах, з яких 3 останніх аналогічні сферичним, метричний тензор найбільш фізично важливої ​​частини простору-часу Шварцшильда з топологією (твір області двовимірного евклідового простору та двовимірної сфери) має вигляд

Координата не є довжиною радіус-вектора, а вводиться так, щоб площа сфери в даній метриці дорівнювала . При цьому «відстань» між двома подіями з різними (але однаковими координатами) дається інтегралом

При або метрика Шварцшильда прагне (покомпонентно) до метрики Мінковського в сферичних координатах, так що вдалині від масивного тіла простір-час виявляється приблизно псевдоевклідовою сигнатурою. Так як при і монотонно зростає зі зростанням, то власний час у точках поблизу тіла «тече повільніше», ніж далеко від нього, тобто відбувається своєрідне гравітаційне уповільнення часумасивними тілами.

Диференціальні характеристики

Позначимо

Тоді не рівні нулю незалежні символи Крістофеля мають вигляд

Тензор кривизни відноситься до типу за Петровим.

Дефект маси

Якщо є сферично симетричний розподіл матерії «радіуса» (з точки зору координат), то повна маса тіла може бути виражена через його тензор енергії-імпульсу за формулою

Зокрема, для статичного розподілу речовини, де - щільність енергії у просторі. Враховуючи, що обсяг шарового шару у вибраних нами координатах дорівнює

отримаємо, що

Ця відмінність виражає собою гравітаційний дефект маси тіла. Можна сміливо сказати, що частина повної енергії системи міститься у енергії гравітаційного поля, хоча локалізувати цю енергію у просторі неможливо.

Особливість у метриці

На погляд, метрика містить дві особливості: при і при . Справді, у Шварцшильдівських координатах частинці, що падає на тіло, знадобиться нескінченно великий час для досягнення поверхні, однак перехід, наприклад, до координат Леметра в супутній системі відліку показує, що з точки зору падаючого спостерігача ніякої особливості простору-часу на даній поверхні немає, причому як сама поверхня, так і область будуть досягнуті за кінцевий час.

Реальна особливість метрики Шварцшильда спостерігається лише за умови, де прагнуть до нескінченності скалярні інваріанти тензора кривизни. Ця особливість (сингулярність) може бути усунена зміною системи координат.

Горизонт подій

Поверхня називається горизонтом подій. При більш вдалому виборі координат, наприклад, у координатах Леметра або Крускала, можна показати, що ніякі сигнали не можуть вийти з чорної діри через горизонт подій. У цьому сенсі не дивно, що поле поза Шварцшильдівською чорною діркою залежить лише від одного параметра - повної маси тіла.

Координати Крускала

Можна спробувати ввести координати, які дають сингулярності при . Таких координатних систем відомо безліч, і часто зустрічається з них є система координат Крускала, яка покриває однією картою все максимально продовжене різноманіття, що задовольняє вакуумним рівнянням Ейнштейна (без космологічної постійної). Це більшепростір-час називається зазвичай (максимально продовженим) простором Шварцшильда або (рідше) простором Крускала. Метрика в координатах Крускала має вигляд

де , А функція визначається (неявно) рівнянням .

Мал. 1. Перетин простору Шварцшільда. Кожній точці на малюнку відповідає сфера площею. Світлоподібні геодезичні (тобто світові лінії фотонів) – це прямі під кутом до вертикалі, інакше кажучи – це прямі чи

Простір максимально, тобто його вже не можна ізометрично вкласти в більший простір-час, а область в координатах Шварцшильда () є лише частиною (це область - область I на малюнку). Тіло, що рухається повільніше світла - світова лінія такого тіла буде кривою з кутом нахилу до вертикалі менше, див. криву на малюнку - може залишити. При цьому воно потрапляє в ділянку II, де . Залишити цю область і повернутися до неї, як видно з малюнка, вже не зможе (для цього довелося б відхилитися більше, ніж на вертикалі, тобто перевищити швидкість світла). Область II в такий спосіб є чорну діру. Її межа (ламана, ) є горизонтом подій.

Є ще одна асимптотично плоска область III, в якій також можна ввести Шварцшильдові координати. Однак ця область причинно не пов'язана з областю I, що не дозволяє отримати про неї жодної інформації, залишаючись зовні від обрії подій. У разі реального колапсу астрономічного об'єкта області IV і III просто не виникають, тому що ліву частину представленої діаграми необхідно замінити на непустий простір-час, заповнений колапсуючою матерією.

Зазначимо кілька чудових властивостей максимально продовженого Шварцшильдівського простору:

Орбітальний рух

Основна стаття: Проблема Кеплера у загальній теорії відносності

Історія отримання та інтерпретації

Метрика Шварцшильда, виступаючи як об'єкт значного теоретичного інтересу, для фахівців-теоретиків є також якимось інструментом, на вигляд простим, але тим не менш відразу ж приводить до важких питань.

У 1915 року Ейнштейн опублікував попередні рівняння теорії гравітації. Це були ще не рівняння Ейнштейна, але вони вже збігалися з остаточними у вакуумному випадку. Сферично-симетричні рівняння для вакууму Шварцшильд проінтегрував у період із 18 листопада 1915 р. остаточно року. 9 січня 1916 р. Ейнштейн, до якого Шварцшильд звернувся з приводу публікації своєї статті в Berliner Berichte, написав йому, що прочитав його роботу з величезною пристрастю і був приголомшений, що справжнє вирішення цієї проблеми можна висловити так легко. Ейнштейн спочатку сумнівався, чи можливо взагалі отримати розв'язання таких складних рівнянь.

Шварцшильд закінчив свою роботу у березні, отримавши також сферично-симетричне статичне внутрішнє рішення для рідини з постійною густиною. У цей час на нього навалилася хвороба (бульбашка), яка у травні звела його до могили. З травня 1916 р. І. Дросте, учень Г. А. Лоренца, проводячи дослідження в рамках остаточних ейнштейнівських рівнянь поля, отримав розв'язання того ж завдання більш простим методом, ніж Шварцшильд. Йому належить перша спроба аналізу розбіжності рішення при прагненні до сфери Шварцшильда.

Після Дросте більшість дослідників стали задовольнятися різними міркуваннями, спрямованими на підтвердження непроникності сфери Шварцшильда. При цьому міркування теоретичного характеру підкріплювалися фізичним аргументом, згідно з яким «таке в природі не існує», оскільки відсутні тіла, атоми, зірки, радіус яких був би меншим за шварцшильдовський радіус.

Для К. Ланцоша, і навіть для Д. Гілберта сфера Шварцшильда стала приводом замислитися над поняттям «сингулярність», для П. Пенлеве і французької школи була об'єктом полеміки, до якої включився Ейнштейн.

У ході паризького колоквіуму 1922 р., організованого у зв'язку з приїздом Ейнштейна, мова зайшла не тільки про ідею, згідно з якою радіус Шварцшильда не буде сингулярним, але також і про гіпотезу, що передбачає те, що сьогодні називають гравітаційним колапсом.

Майстерна технологія Шварцшильда мала лише відносний успіх. Ні його метод, ні його інтерпретація були взяті на озброєння. З його роботи не зберегли майже нічого, окрім «голого» результату метрики, з якою пов'язали ім'я її творця. Але питання інтерпретації і передусім питання «сингулярності Шварцшильда» вирішені не були. Стала викристалізовуватися думка, що ця сингулярність не має значення. До цієї точки зору вели два шляхи: з одного боку, теоретичний, згідно з яким «сингулярність Шварцшильда» непроникна, і з іншого боку, емпіричний, що полягає в тому, що «цього в природі не існує». Ця думка поширилася і стала домінуючою у всій спеціальній літературі на той час.

Наступний етап пов'язані з інтенсивним дослідженням питань гравітації на початку «золотого століття» теорії відносності.

Література

• K. SchwarzschildÜber das Gravitationsfeld інструменти Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Рос. пров.: Шварцшільд К.Про гравітаційне поле точкової маси в ейнштейнівській теорії // Альберт Ейнштейн та теорія гравітації. М.: Світ, 1979. З. 199-207.
• Ландау, Л. Д., Ліфшиц, Е. М.Теорія поля. - Видання 7-ме, виправлене. – М.: Наука, 1988. – 512 с. - («Теоретична фізика», том II). - ISBN 5-02-014420-7
• Droste J.Це було еін енкель центр в Ейнштейні з теорією дер зваартекрахт в дє вегінг ван ео стеффелійк пункт в віці // Верс. gev Vergad. Akad. Амстердам. – 1916. – D.25. - Biz.163-180.
- простір час поза масивного тіла, що не обертається у вакуумі (тензор Річчі Rik = 0). Елемент довжини ds визначається виразом де r,q, f сферичні координати з центром у центрі масивного тіла, маса M тіла. Це рішення ур ній Ейнштейна. Фізична енциклопедія

Метрика простору-часу- (див. Метрика, Простір Час) основний закон, що визначає геометричні властивості чотиривимірного простору часу Мінковського, Рімана, Шварцшильда та ін. Вказана метрика відіграє фундаментальне значення у формулюванні фізичних законів… Початки сучасного природознавства

Метричний тензор або метрика це симетричний тензор рангу 2 на гладкому різноманітті, за допомогою якого задаються скалярний добуток векторів у дотичному просторі, довжини кривих, кути між кривими і т.д.

Гравітаційний радіус (або радіус Шварцшильда) у Загальній теорії відносності (ОТО) є характерним радіусом, визначеним для будь-якого фізичного тіла, що володіє масою: це радіус сфери, на якій перебував би горизонт подій, ... Вікіпедія

Це метрика, що визначає статичне ізотропне гравітаційне поле. Приватним випадком цієї метрики є метрика Шварцшильда на випадок порожнього (нічим не заповненого) простору часу. Зміст 1 Визначення … Вікіпедія

Загальна теорія відносності Математичне формулювання ОТО Космологія Фундаментальні ідеї Спеціальна теорія відносності … Вікіпедія

Рішення рівнянь Ейнштейна, що описує зовнішнє гравітаційне поле джерела, що обертається, з масою ти кутовим моментом L. Належить до типу Dпо класифікації А. З. Петрова. Найбільше просто записується у вигляді метрики Керра Шильда: де До m… … Математична енциклопедія

Передісторіяпублікацій

25 листопада 1915 року професор Берлінського університету Альберт Ейнштейн представив Королівській академії наук Пруссії письмову доповідь, що містить систему повністю коваріантних (не змінюють вигляд при зміні системи координат) рівнянь релятивістської теорії гравітаційного поля, відомої також як Загальна теорія відносності.

Тижнем раніше Ейнштейн виступив на засіданні Академії з лекцією, де продемонстрував більш ранню і ще неповну версію цих рівнянь, які не мали повної підступності. Однак ці рівняння дали Ейнштейну можливість з допомогою методу послідовних наближень правильно обчислити аномальне обертання орбіти Меркурія і передбачити величину кутового відхилення зоряного світла на полі тяжіння Сонця. Карл Шварцшильд Цей виступ знайшов вдячного слухача — Карла Шварцшильда, колегу Ейнштейна з Академії. Він служив лейтенантом артилерії у діючій армії Німецької імперії і саме тоді приїхав у відпустку. У грудні, вже після повернення на фронт, Шварцшильд знайшов точне рішення першої версії рівнянь Ейнштейна, яке за його посередництвом опублікував у «Звітах про засідання» ( Sitzungsberichte) Академії. У лютому, вже ознайомившись із остаточною версією рівнянь ОТО, Шварцшильд надіслав Ейнштейну другу статтю, в якій уперше фігурує гравітаційний, він же шварцшильдівський, радіус. У сучасній інтерпретації це радіус горизонту чорної дірки, з-під якого неможлива передача сигналу назовні. 24 лютого, коли Ейнштейн передав до друку і цю роботу, битва під Верденом тривала вже три дні.

Наука і війна

Карл Шварцшільд (1873-1916) був не тільки блискучим, а й різнобічним вченим. Він залишив глибокий слід у спостережній астрономії, будучи одним із піонерів оснащення телескопів фотографічною апаратурою та її використання з метою фотометрії. Йому належать глибокі та оригінальні праці в галузі електродинаміки, зіркової астрономії, астрофізики та оптики. Шварцшильд навіть встиг зробити чималий внесок у квантову механіку атомних оболонок, побудувавши у своїй останній науковій роботі теорію ефекту Штарка — усунення та розщеплення атомних рівнів в електричному полі. У 1900 році, за п'ятнадцять років до створення ОТО, він не тільки всерйоз розглянув ту парадоксальну можливість, що геометрія Всесвіту відрізняється від евклідового (таке допускав ще Лобачевський), а й оцінив нижні межі радіусу кривизни простору для сферичної та псевдосферичної геометрії космосу. Не досягнувши і тридцяти років, він став професором Геттінгенського університету і директором університетської обсерваторії, в 1909 був обраний членом лондонського Королівського астрономічного товариства і очолив Потсдамську астрофізичну обсерваторію, а ще через чотири роки став дійсним членом Прусської академії наук. Звістка про смерть німецького солдата, що загинув під Верденом Струнку наукову кар'єру Шварцшильда обірвала Перша світова війна. Він не підлягав призову за віком, але пішов до армії добровольцем і зрештою опинився на російському фронті в штабі артилерійської частини, де займався обчисленням траєкторій снарядів далекобійних знарядь. Там він став жертвою пемфігусу, або пухирчатки, дуже тяжкого аутоімунного захворювання шкірних покривів, до якого мав спадкову схильність. Ця патологія погано піддається лікам і в наш час, а тоді взагалі була невиліковною.

У березні 1916 року Шварцшильд був комісований і повернувся до Потсдама, де помер 11 травня. Він був одним із найбільших фізиків, чиї життя забрала Перша світова. Також можна згадати Генрі Мозлі, одного із основоположників рентгенівської спектроскопії. Він служив офіцером зв'язку і загинув у 27 років під час Дарданелльської операції 10 серпня 1915 року.

Метрика Шварцшильда

Знаменита просторово-часова метрика (або чотиритензор) Шварцшильда історично стала першим точним рішенням рівнянь ОТО. Вона описує статичне гравітаційне поле, яке створюється у вакуумі нерухомим сферично-симетричним тілом маси M. У стандартному записі в координатах Шварцшильдаt, r, θ, φ має дві особливі точки (формальною мовою — сингулярності), поблизу яких один з елементів метрики прагне нуля , а інший до безкінечності. Одна з сингулярностей виникає при r = 0, тобто там, де звертається до нескінченності ньютоновський потенціал тяжіння. Друга сингулярність відповідає значенню r = 2GM/с 2 де G - гравітаційна постійна, M - гравітує маса і з - швидкість світла. Цей параметр зазвичай позначають r s і називають радіусом Шварцшільда ​​або гравітаційним радіусом. Це вже неньютонівська сингулярність, що випливає із рівнянь ОТО, над змістом якої мучилося кілька поколінь фізиків. Гравітаційний радіус тіла з масою Сонця дорівнює приблизно 3 км. Як відомо, цей параметр відіграє ключову роль у теорії чорних дірок.

Кутові координати Шварцшильда θ і ? У метриці Шварцшильда довжина кола з центром на початку координат виражається евклідівською формулою 2πr, проте відстань між двома точками з радіусами r 1 і r 2 , що знаходяться на одному радіус-векторі, завжди перевищує арифметичну різницю r 2 -r 1 . Звідси відразу видно, що шварцшильдівський простір неевклідовий — відношення довжини кола до довжини її радіусу менше, ніж 2π.

Перший містокдо чорним дірам

А тепер найцікавіше. Метрика Шварцшільда, як вона наведена вище, в обох його статтях взагалі відсутня. У першій з його публікацій «Про гравітаційне поле точкової маси, що випливає з теорії Ейнштейна», представлена ​​метрика простору-часу, що відповідає полю тяжіння точкової маси, яка зовсім не еквівалентна стандартній метриці, хоча зовні на неї схожа. У тій метриці, яку написав сам Шварцшильд, радіальна координата має нижню позитивну межу, тож сингулярність ньютоновського типу в ній відсутня. Залишається лише сингулярність, що виникає, коли радіус набуває свого мінімального значення, яке виникає як стала інтегрування. Для цієї постійної статті Шварцшильда немає ні формули, ні чисельної оцінки, лише позначення α. Неформальний зміст цієї сингулярності полягає в тому, що точковий центр маси оточений сферою радіусу α і на цій сферичній поверхні відбувається щось дивне та незрозуміле. Подробиці Шварцшильд не вдається.

Карл Шварцшільд отримав свою метрику в результаті вирішення рівнянь Ейнштейна в їх першій версії, з якою він ознайомився 18 листопада. На її основі він підтвердив величину обчисленого Ейнштейном аномального повороту орбіти Меркурія. Він також вивів релятивістський аналог третього закону Кеплера, проте лише для кругових орбіт. Конкретно, він показав, що квадрат кутової швидкості пробних тіл, що обертаються за такими орбітами навколо центральної точки, дається простою формулою n 2 = α/2R 3 (літерою n Шварцшильд позначає кутову швидкість; R - радіальна координата). Оскільки R не може бути меншим, ніж α, кутова швидкість має верхню межу n 0 = 1/(√2α).

Нагадаю, що в ньютонівській механіці кутова швидкість тіл, що обертаються навколо точкової маси, може бути як завгодно великою, так що тут видно специфіка ОТО.

Формула для n0 виглядає незвичайно через її розмірність. Це з тим, що Шварцшильд приймає швидкість світла за одиницю. Щоб отримати кутову швидкість із звичайною розмірністю 1/сек, треба праву частину формули для n 0 помножити на швидкість світла c.

Родзинку Шварцшильд приберіг під завісу. Наприкінці статті він зазначив, що якщо величина точкової маси на початку координат дорівнює масі Сонця, то максимальна частота обігу виявляється приблизно 10 тис. оборотів на секунду. Звідси відразу випливає, що = 10 -4 с/2π√2. Оскільки з = 3×10 5 км/сек, параметр α виявляється приблизно рівним 3 км, тобто гравітаційному радіусу Сонця! Не з'явившись у статті Шварцшильда явно, це число проникло туди з чорного ходу і без будь-якого обґрунтування (адже Шварцшильд не уточнив, як він отримав чисельну величину граничної частоти). Загалом, вже перша стаття Шварцшильда прокладає дуже тонкий місток до теорії чорних дірок, хоча виявити його не так просто. Помітивши це, я чимало здивувався, оскільки прийнято вважати, що гравітаційний радіус з'являється лише у другій статті Шварцшильда.

Другий містокдо чорним дірам

Друга стаття Шварцшильда називається "Про гравітаційне поле сфери, заповненої несжимаемой рідиною, обчислене відповідно до теорії Ейнштейна". У ній (нагадаю, вже на базі повної системи рівнянь ОТО) обчислено дві метрики: для зовнішнього простору та простору всередині сфери. Наприкінці цієї статті вперше з'являється гравітаційний радіус 2GM/с 2 лише виражений в інших одиницях і ніяк спеціально не названий. Як зазначає Шварцшильд, у разі тіла з масою Сонця він дорівнює 3 км, а для маси в 1 г дорівнює 1,5 10 -28 см.

Але ці числа ще найцікавіше. Шварцшильд також вказує, що радіус сферичного тіла, виміряний зовнішнім спостерігачем, не може бути меншим за його гравітаційний радіус. Звідси випливає, що точкова маса, про яку йшлося у першій статті Шварцшильда, також представляється ззовні у вигляді сфери. Фізично це пов'язано з тим, що ніякий світловий промінь не може наблизитися до цієї маси ближче, ніж її гравітаційний радіус, а потім повернутися до зовнішнього спостерігача. У статті Шварцшильда цих тверджень немає, але вони прямо випливають із її логіки. Це другий місток до концепції чорних дірок, який можна знайти у Шварцшильда.

Епілог

Сферично симетричними рішеннями рівнянь ОТО після Шварцшильда займалися чисті математики, і фізики, і космологи. Навесні 1916 року голландець Йоханнес Дросте, який закінчував у Лейденському університеті докторську дисертацію під керівництвом Хендріка Лоренца, представив шефу для публікації роботу, в якій обчислив метрику простору-часу для точкової маси простіше, ніж це зробив Шварцшильд (про його результатат ). Саме Дросте першим опублікував ту версію метрики, яка пізніше стала вважатися стандартною.

У ході подальшого шліфування рішення Шварцшильда був також виявлений зовсім різний характер сингулярностей: одну, що виникає в стандартній формі метрики при г = rs, як з'ясувалося, можна усунути заміною координат, інша, що виникає при r = 0, виявилася непереборною і фізично відповідає нескінченності поля тяжіння .

Все це дуже цікаво, але цілком випадає за межі моєї статті. Досить сказати, що математична теорія чорних дірок давно і добре розроблена і дуже гарна — і вся вона історично перегукується з рішенням Шварцшильда. Що стосується фізичної реальності чорних дірок, що виникають в результаті колапсу найпотужніших зірок, то в неї астрономи почали вірити лише з початку 1960-х років після відкриття перших квазарів. Але це вже зовсім інша історія.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). P. 548-568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld інструменти Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse 1916. P. 189-196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie/Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. 1916. P. 424-434.

4. Droste J. Field of Single Center в EINSTEIN's Theory of Gravitation, і Motion of Particle in that Field.Proc. K. Ned. Akad. Wet. Ser. A 19. 197 (1917).