Karl Schwarzschild: astronómia, delostrelectvo, čierne diery. Schwarzschildova časopriestorová Schwarzschildova metrika v karteziánskych súradniciach

Objekty sa nazývali „zrútené hviezdy“ alebo „zrútené hviezdy“ (z angl. zrútené hviezdy), ako aj „zamrznuté hviezdy“ (angl. zamrznuté hviezdy).

Otázka skutočnej existencie čiernych dier v súlade s definíciou uvedenou vyššie do značnej miery súvisí s tým, nakoľko správna je teória gravitácie, z ktorej existencia takýchto objektov vyplýva. V modernej fyzike je štandardnou teóriou gravitácie, najlepšie potvrdenou experimentálne, všeobecná teória relativity (GTR), hoci existencia čiernych dier je možná aj v rámci iných (nie všetkých) teoretických modelov gravitácie (pozri: Teórie gravitácie). Pozorovacie údaje sú preto analyzované a interpretované predovšetkým v ich kontexte, aj keď striktne povedané, táto teória nie je experimentálne potvrdená pre podmienky zodpovedajúce oblasti časopriestoru v bezprostrednej blízkosti čiernej diery. Preto tvrdenia o priamych dôkazoch o existencii čiernych dier, vrátane tohto článku nižšie, by sa mali, prísne vzaté, chápať v zmysle potvrdenia existencie objektov tak hustých a masívnych, ako aj tých, ktoré majú niektoré ďalšie pozorovateľné vlastnosti, že ich možno interpretovať ako všeobecnú teóriu relativity čiernych dier.

Okrem toho sa čierne diery často nazývajú objekty, ktoré presne nezodpovedajú definícii uvedenej vyššie, ale svojimi vlastnosťami sa k takejto všeobecnej teórii relativity iba približujú, napríklad kolabujúce hviezdy v neskorých štádiách kolapsu. V modernej astrofyzike sa tomuto rozdielu nepripisuje veľký význam, pretože pozorovacie prejavy „takmer zrútenej“ („zamrznutej“) hviezdy a „skutočnej“ čiernej diery sú takmer rovnaké.

História myšlienok o čiernych dierach

V histórii myšlienok o čiernych dierach sa rozlišujú tri obdobia:

• Začiatok prvého obdobia je spojený s prácou Johna Michella, publikovanou v roku 1784, ktorá načrtla výpočet hmotnosti pre objekt neprístupný pozorovaniu.
• Druhé obdobie je spojené s rozvojom všeobecnej teórie relativity, ktorej stacionárne riešenie rovníc získal Karl Schwarzschild v roku 1915.
• Publikácia práce Stephena Hawkinga v roku 1975, v ktorej navrhol myšlienku žiarenia z čiernych dier, začína tretie obdobie. Hranica medzi druhým a tretím obdobím je dosť svojvoľná, pretože všetky dôsledky Hawkingovho objavu neboli okamžite jasné, štúdium ktorého stále prebieha.

"Čierna hviezda" Michell

"Čierna diera" Michell

V newtonskom gravitačnom poli pre častice v pokoji v nekonečne, berúc do úvahy zákon zachovania energie:

,

.

Nech je gravitačný polomer vzdialenosť od gravitačnej hmoty, pri ktorej sa rýchlosť častíc rovná rýchlosti svetla. Potom .

Koncept masívneho telesa, ktorého gravitačná sila je taká veľká, že rýchlosť potrebná na prekonanie tohto ťahu (druhá úniková rýchlosť) je rovnaká alebo väčšia ako rýchlosť svetla, prvýkrát navrhol v roku 1784 John Michell v liste, ktorý poslal kráľovskej spoločnosti. List obsahoval výpočet, z ktorého vyplynulo, že pre teleso s polomerom 500 slnečných polomerov a s hustotou Slnka sa druhá úniková rýchlosť na jeho povrchu bude rovnať rýchlosti svetla. Svetlo teda nebude môcť opustiť toto telo a bude neviditeľné. Michell naznačil, že vo vesmíre môže byť veľa takýchto neprístupných objektov. V roku 1796 Laplace zahrnul diskusiu o tejto myšlienke do svojej Exposition du Systeme du Monde, ale táto časť bola v nasledujúcich vydaniach vynechaná.

Po Laplaceovi, pred Schwarzschildom

Počas celého 19. storočia myšlienka tiel neviditeľných kvôli ich masívnosti nevzbudila medzi vedcami veľký záujem. Bolo to spôsobené tým, že v rámci klasickej fyziky nemá rýchlosť svetla zásadný význam. Koncom 19. - začiatkom 20. storočia sa však zistilo, že zákony elektrodynamiky formulované J. Maxwellom sú na jednej strane splnené vo všetkých inerciálnych vzťažných sústavách a na druhej strane nemajú invariantnosť pri galilejských transformáciách. Znamenalo to, že prevládajúce predstavy vo fyzike o povahe prechodu z jedného inerciálneho referenčného systému do druhého potrebovali výraznú úpravu.

V priebehu ďalšieho rozvoja elektrodynamiky G. Lorentz navrhol nový systém transformácií časopriestorových súradníc (dnes známy ako Lorentzove transformácie), voči ktorému zostali Maxwellove rovnice invariantné. Pri rozvíjaní Lorentzových myšlienok A. Poincaré predpokladal, že všetky ostatné fyzikálne zákony sú tiež invariantné vzhľadom na tieto transformácie.

Zakrivenie priestoru

(Pseudo)riemannovské priestory sú priestory, ktoré sa v malých mierkach správajú „takmer“ ako bežné (pseudo)euklidovské. Na malých plochách gule sa teda Pytagorova veta a ďalšie fakty euklidovskej geometrie napĺňajú s veľmi vysokou presnosťou. Kedysi táto okolnosť umožnila skonštruovať euklidovskú geometriu založenú na pozorovaniach zemského povrchu (ktorý v skutočnosti nie je plochý, ale má guľový tvar). Rovnaká okolnosť určila aj výber pseudoriemannovských (a nie akýchkoľvek iných) priestorov ako hlavného predmetu úvahy vo Všeobecnej teórii relativity: vlastnosti malých úsekov časopriestoru by sa nemali príliš líšiť od vlastností známych zo špeciálnej relativity.

Vo veľkých mierkach sa však Riemannove priestory môžu veľmi líšiť od euklidovských priestorov. Jednou z hlavných charakteristík takéhoto rozdielu je koncept zakrivenia. Jeho podstata je nasledovná: Euklidovské priestory majú vlastnosť absolútny paralelizmus: vektor X", získané ako výsledok paralelnej translácie vektora X pozdĺž akejkoľvek uzavretej cesty sa zhoduje s pôvodným vektorom X. Pre Riemannove priestory to už nie je vždy prípad, čo možno ľahko ukázať na nasledujúcom príklade. Predpokladajme, že pozorovateľ stál na priesečníku rovníka s nultým poludníkom, otočený na východ a začal sa pohybovať pozdĺž rovníka. Po dosiahnutí bodu so zemepisnou dĺžkou 180° zmenil smer pohybu a začal sa pohybovať pozdĺž poludníka na sever bez toho, aby zmenil smer pohľadu (to znamená, že sa teraz pozerá doprava). . Keď takto prekročí severný pól a vráti sa do východiskového bodu, ocitne sa tvárou na západ (a nie na východ, ako pôvodne). Inými slovami, vektor, paralelne prenesený pozdĺž trasy pozorovateľa, sa „posúval“ vzhľadom na pôvodný vektor. Charakteristickým znakom veľkosti takéhoto „rolovania“ je zakrivenie.

Riešenia Einsteinových rovníc pre čierne diery

Stacionárne riešenia pre čierne diery v rámci všeobecnej teórie relativity charakterizujú tri parametre: hmotnosť ( M), moment hybnosti ( L) a elektrický náboj ( Q), ktoré pozostávajú zo zodpovedajúcich charakteristík telies a žiarenia, ktoré do nich spadlo. Akákoľvek čierna diera má tendenciu stať sa nehybnou pri absencii vonkajších vplyvov, čo dokázalo úsilie mnohých teoretických fyzikov, z ktorých obzvlášť pozoruhodný je príspevok laureáta Nobelovej ceny Subramanian Chandrasekhar, ktorý napísal monografiu „Matematická teória čiernych dier“ , zásadný pre tento smer.

Riešenia Einsteinových rovníc pre čierne diery so zodpovedajúcimi charakteristikami:

Riešenie rotujúcej čiernej diery je mimoriadne ťažké. Je zaujímavé, že najkomplexnejší typ riešenia „uhádol“ Kerr z „fyzikálnych úvah“. Prvé konzistentné odvodenie Kerrovho riešenia prvýkrát urobil S. Chandrasekhar o viac ako pätnásť rokov neskôr. Verí sa, že Kerrovo riešenie má najväčší význam pre astrofyziku, pretože nabité čierne diery by mali rýchlo stratiť náboj, priťahovať a absorbovať opačne nabité ióny a prach z vesmíru. Existuje aj teória spájajúca záblesky gama žiarenia s procesom výbušnej neutralizácie nabitých čiernych dier cez zrodenie elektrón-pozitrónových párov z vákua a pád jednej z častíc na dieru, pričom druhá ide do nekonečna (R Ruffini a spolupracovníci).

Schwarzschildovo riešenie

Objekty, ktorých veľkosť je najbližšie k ich Schwarzschildovmu polomeru, ale ktoré ešte nie sú čiernymi dierami, sú neutrónové hviezdy.

Koncept „priemernej hustoty“ čiernej diery môžete zaviesť vydelením jej hmotnosti objemom obsiahnutým pod horizontom udalostí:

Priemerná hustota klesá so zvyšujúcou sa hmotnosťou čiernej diery. Ak teda čierna diera s hmotnosťou rádu Slnka má hustotu presahujúcu jadrovú hustotu, potom má supermasívna čierna diera s hmotnosťou 10 9 hmotností Slnka (existencia takýchto čiernych dier sa predpokladá v kvazaroch) priemerná hustota rádovo 20 kg/m³, čo je podstatne menej ako hustota vody!

Čiernu dieru teda možno získať nielen stláčaním existujúceho objemu hmoty, ale aj extenzívnym spôsobom, a to nahromadením obrovského množstva materiálu.

Pre presný popis skutočných čiernych dier je potrebné vziať do úvahy kvantové korekcie, ako aj prítomnosť momentu hybnosti. V blízkosti horizontu udalostí sú kvantové efekty spojené s materiálnymi poľami (elektromagnetické, neutrínové atď.) silné. Ak to vezmeme do úvahy, teória (to znamená všeobecná relativita, v ktorej pravá strana Einsteinových rovníc je priemerom kvantového stavu tenzora energie a hybnosti) sa zvyčajne nazýva „poloklasická gravitácia“.

Reissner-Nordström riešenie

Toto je statické riešenie Einsteinových rovníc pre sféricky symetrickú čiernu dieru s nábojom, ale bez rotácie.

Metrika čiernej diery podľa Reissnera-Nordströma:

c- rýchlosť svetla, m/s, t- časová súradnica (čas meraný na nekonečne vzdialených hodinách), v sekundách, r− radiálna súradnica (dĺžka „rovníka“ delená 2π), v metroch, θ − zemepisná šírka (uhol od severu), v radiánoch, − zemepisná dĺžka, v radiánoch, r s− Schwarzschildov polomer (v metroch) telesa s hmotnosťou M , r Q− dĺžková stupnica (v metroch) zodpovedajúca elektrickému náboju Q(analóg Schwarzschildovho polomeru, len nie pre hmotnosť, ale pre náboj) definovaný ako kde je Coulombova konštanta.

Parametre čiernej diery nemôžu byť ľubovoľné. Maximálny náboj, ktorý môže mať čierna diera Reissner-Nordström, je , kde e- elektrónový náboj. Toto je špeciálny prípad Kerr-Newmanovho obmedzenia pre čiernu dieru s nulovým momentom hybnosti ( J= 0, teda bez rotácie).

Treba však poznamenať, že v realistických situáciách (pozri: Princíp kozmickej cenzúry) by čierne diery nemali byť nabité vo významnej miere.

Kerrovo riešenie

Kerrova čierna diera má množstvo pozoruhodných vlastností. Okolo horizontu udalostí sa nachádza oblasť zvaná ergosféra, v ktorej relatívne vzdialení pozorovatelia nemôžu odpočívať, ale iba rotovať okolo čiernej diery v smere jej rotácie. Tento efekt sa nazýva „ťahanie inerciálnej referenčnej sústavy“ (angl. preťahovanie rámu) a je pozorovaný okolo akéhokoľvek rotujúceho masívneho telesa, ako je Zem alebo Slnko, ale v veľa v menšej miere. Samotná ergosféra však môže byť ponechaná, táto oblasť nie je vzrušujúca. Rozmery ergosféry závisia od momentu hybnosti rotácie.

Parametre čiernej diery nemôžu byť ľubovoľné (pozri: Princíp kozmickej cenzúry). O J maX = M 2 metrika sa nazýva Kerrovo limitné riešenie. Toto je špeciálny prípad Kerr-Newmanovho obmedzenia pre čiernu dieru s nulovým nábojom ( Q = 0 ).

Toto a ďalšie riešenia čiernej diery vedú k úžasnej geometrii časopriestoru. Vyžaduje sa však analýza stability zodpovedajúcej konfigurácie, ktorá môže byť narušená interakciou s kvantovými poľami a inými efektmi.

Pre Kerr časopriestor túto analýzu vykonal Subramanian Chandrasekhar a zistilo sa, že Kerrova čierna diera - jej vonkajšia oblasť - je stabilná. Podobne ako špeciálne prípady sa ako stabilné ukázali diery Schwarzschild a Reissner-Nordström. Analýza Kerr-Newmanovho časopriestoru však ešte nebola vykonaná pre veľké matematické ťažkosti.

Kerr-Newman riešenie

Trojparametrová Kerr-Newmanova rodina je najvšeobecnejším riešením zodpovedajúcim konečnému rovnovážnemu stavu čiernej diery. V súradniciach Boyer - Lindquist je metrika Kerr - Newman daná takto:

Z tohto jednoduchého vzorca ľahko vyplýva, že horizont udalostí sa nachádza na polomere: .

A preto parametre čiernej diery nemôžu byť ľubovoľné. Elektrický náboj a moment hybnosti nemôžu byť väčšie ako hodnoty zodpovedajúce zániku horizontu udalostí. Musia byť splnené tieto obmedzenia:

- Toto Kerr-Newmanovo obmedzenie.

Ak sa tieto obmedzenia porušia, horizont udalostí zmizne a riešenie namiesto čiernej diery bude popisovať takzvanú „nahú“ singularitu, ale takéto objekty by podľa všeobecného presvedčenia nemali v skutočnom vesmíre existovať. (pozri: Princíp kozmickej cenzúry, ale zatiaľ nie je dokázaný).

Kerr-Newmanovu metriku možno analyticky rozšíriť tak, aby spájala nekonečne veľa „nezávislých“ priestorov v čiernej diere. Môžu to byť „iné“ vesmíry a vzdialené časti nášho vesmíru. Vo výsledných priestoroch sú uzavreté časové krivky: cestovateľ sa v zásade môže dostať do svojej minulosti, teda stretnúť sa so sebou samým. Okolo horizontu udalostí rotujúcej čiernej diery je tiež oblasť zvaná ergosféra, prakticky ekvivalentná ergosfére z Kerrovho riešenia; tam umiestnený stacionárny pozorovateľ sa musí otáčať kladnou uhlovou rýchlosťou (v smere rotácie čiernej diery).

Termodynamika a vyparovanie čiernych dier

Myšlienku čiernej diery ako absolútne absorbujúceho objektu opravil S. Hawking v roku 1975. Štúdiom správania kvantových polí v blízkosti čiernej diery predpovedal, že čierna diera nevyhnutne vyžaruje častice do vesmíru a tým stráca hmotu. Tento efekt sa nazýva Hawkingovo žiarenie (vyparovanie). Zjednodušene povedané, gravitačné pole polarizuje vákuum, v dôsledku čoho je možný vznik nielen virtuálnych, ale aj reálnych párov častica-antičastica. Jedna z častíc tesne pod horizontom udalostí spadne do čiernej diery a druhá, tesne nad horizontom, odletí a odnesie energiu (čiže časť hmoty) čiernej diery. Sila žiarenia čiernej diery sa rovná

Zloženie žiarenia závisí od veľkosti čiernej diery: pre veľké čierne diery sú to najmä fotóny a neutrína a v spektre ľahkých čiernych dier sa začínajú vyskytovať ťažké častice. Ukázalo sa, že spektrum Hawkingovho žiarenia sa striktne zhoduje so žiarením absolútne čierneho telesa, čo umožnilo priradiť teplotu čiernej diere.

,

kde je redukovaná Planckova konštanta, c- rýchlosť svetla, k- Boltzmannova konštanta, G- gravitačná konštanta, M- hmotnosť čiernej diery.

Na tomto základe bola postavená termodynamika čiernych dier, vrátane zavedenia kľúčového konceptu entropie čiernej diery, ktorý sa ukázal byť úmerný ploche jej horizontu udalostí:

Kde A- oblasť horizontu udalostí.

Rýchlosť vyparovania čiernej diery je tým väčšia, čím je jej veľkosť menšia. Vyparovanie čiernych dier hviezdnych (a najmä galaktických) mierok možno zanedbať, avšak pre primárne a najmä kvantové čierne diery sa procesy vyparovania stávajú ústrednými.

V dôsledku vyparovania všetky čierne diery strácajú hmotnosť a ich životnosť sa ukazuje ako konečná:

V tomto prípade sa intenzita vyparovania zvyšuje ako lavína a záverečná fáza evolúcie má charakter výbuchu, napríklad čierna diera s hmotnosťou 1000 ton sa vyparí asi za 84 sekúnd, pričom sa uvoľní energia rovnajúca sa výbuchu približne desať miliónov atómových bômb priemernej sily.

Zároveň veľké čierne diery, ktorých teplota je nižšia ako teplota kozmického mikrovlnného žiarenia pozadia vesmíru (2,7 K), v súčasnej fáze vývoja vesmíru môžu len rásť, pretože žiarenie emitovať má menšiu energiu ako žiarenie, ktoré absorbujú. Tento proces bude trvať dovtedy, kým fotónový plyn kozmického mikrovlnného žiarenia pozadia nevychladne v dôsledku expanzie vesmíru.

Bez kvantovej teórie gravitácie nie je možné opísať konečnú fázu vyparovania, keď sa čierne diery stanú mikroskopickými (kvantovými). Podľa niektorých teórií by po odparení mala zostať „popolček“ – minimálna Planckova čierna diera.

Vety „bez vlasov“.

Vety o „bez vlasov“ čiernej diery Žiadna vlasová veta) hovoria, že stacionárna čierna diera nemôže mať iné vonkajšie charakteristiky ako hmotnosť, moment hybnosti a určité náboje (špecifické pre rôzne materiálne polia) a podrobné informácie o hmote sa počas kolapsu stratia (a čiastočne sa vyžarujú von). Brandon Carter, Werner Israel, Roger Penrose, Piotr Chruściel a Markus Heusler významne prispeli k dôkazu podobných teorémov pre rôzne systémy fyzikálnych polí. Teraz sa zdá, že táto veta platí pre v súčasnosti známe oblasti, hoci v niektorých exotických prípadoch, pre ktoré sa v prírode nenašli žiadne analógy, je porušená.

Pád do čiernej diery

Poďme si predstaviť, ako by vyzeral pád do Schwarzschildovej čiernej diery. Telo voľne padajúce pod vplyvom gravitácie je v stave beztiaže. Padajúce teleso bude vystavené prílivovým silám, ktoré telo natiahnu v radiálnom smere a stlačia ho v tangenciálnom smere. Veľkosť týchto síl rastie a má tendenciu k nekonečnu pri . V určitom okamihu vo svojom vlastnom čase telo prekročí horizont udalostí. Z pohľadu pozorovateľa padajúceho spolu s telom tento moment nie je ničím zvýraznený, no teraz už niet návratu. Telo sa ocitne v hrdle (jeho polomer v bode, kde sa telo nachádza), stlačí sa tak rýchlo, že už nie je možné z neho odletieť pred momentom konečného kolapsu (to je singularita), dokonca sa pohybuje rýchlosť svetla.

Uvažujme teraz o procese pádu telesa do čiernej diery z pohľadu vzdialeného pozorovateľa. Nech je napríklad telo svietiace a navyše vysiela signály späť s určitou frekvenciou. Najprv vzdialený pozorovateľ uvidí, že telo, ktoré je v procese voľného pádu, sa postupne zrýchľuje pod vplyvom gravitácie smerom k stredu. Farba tela sa nemení, frekvencia detekovaných signálov je takmer konštantná. Keď sa však teleso začne približovať k horizontu udalostí, fotóny prichádzajúce z tela budú zažívať čoraz väčší gravitačný červený posun. Navyše vďaka gravitačnému poľu pôjde svetlo aj všetky fyzikálne procesy z pohľadu vzdialeného pozorovateľa čoraz pomalšie. Zdá sa, že telo - v extrémne sploštenej forme - bude Spomaľ, blížiace sa k horizontu udalostí a nakoniec sa prakticky zastaví. Frekvencia signálu prudko klesne. Vlnová dĺžka svetla vyžarovaného telom sa rýchlo zvýši, takže svetlo sa rýchlo zmení na rádiové vlny a následne na nízkofrekvenčné elektromagnetické vibrácie, ktoré už nebude možné zachytiť. Pozorovateľ nikdy neuvidí teleso prechádzať cez horizont udalostí a v tomto zmysle bude pád do čiernej diery trvať nekonečne dlho. Je tu však moment, od ktorého vzdialený pozorovateľ už nebude môcť padajúce teleso ovplyvniť. Lúč svetla vyslaný za týmto telesom ho buď nikdy nedobehne, alebo ho dobehne už za horizontom.

Proces gravitačného kolapsu bude vyzerať podobne ako u vzdialeného pozorovateľa. Najprv sa hmota bude ponáhľať smerom k stredu, ale v blízkosti horizontu udalostí sa začne prudko spomaľovať, jej žiarenie prejde do rádiového dosahu a v dôsledku toho vzdialený pozorovateľ uvidí, že hviezda zhasla. .

Model teórie strún

Skupina Samira Mathura vypočítala veľkosti niekoľkých modelov čiernych dier pomocou vlastnej metódy. Získané výsledky sa zhodovali s rozmermi „horizontu udalostí“ v tradičnej teórii.

V tomto ohľade Mathur navrhol, že horizont udalostí je v skutočnosti skôr peniaca hmota strún než pevne definovaná hranica.

Čierna diera teda podľa tohto modelu v skutočnosti neničí informácie, pretože v čiernych dierach neexistuje singularita. Hmota strún je rozložená po celom objeme až po horizont udalostí a informácie môžu byť uložené v strunách a prenášané odchádzajúcim Hawkingovým žiarením (a teda presahujú horizont udalostí).

Ďalšiu možnosť navrhli Gary Horowitz z Kalifornskej univerzity v Santa Barbare a Juan Maldacena z Princetonského inštitútu pre pokročilé štúdium. Podľa týchto výskumníkov existuje singularita v strede čiernej diery, ale informácie sa do nej jednoducho nedostanú: hmota prechádza do singularity a informácie - prostredníctvom kvantovej teleportácie - sú vtlačené do Hawkingovho žiarenia.

Čierne diery vo vesmíre

Od teoretickej predpovede čiernych dier zostáva otázka ich existencie otvorená, pretože prítomnosť riešenia typu „čierne diery“ nezaručuje, že vo vesmíre existujú mechanizmy na vytváranie takýchto objektov. Sú však známe mechanizmy, ktoré môžu viesť k tomu, že niektoré regiónučasopriestor bude mať rovnaké vlastnosti (rovnakú geometriu) ako zodpovedajúci regiónu pri čiernej diere. Napríklad v dôsledku kolapsu hviezdy sa môže vytvoriť časopriestor zobrazený na obrázku.

Kolaps hviezdy. Metrika mimo tieňovanej oblasti je pre nás neznáma (alebo nezaujímavá)

Oblasť zobrazená tmavou farbou je vyplnená hmotou hviezdy a jej metrika je určená vlastnosťami tejto hmoty. Ale svetlošedá oblasť sa zhoduje so zodpovedajúcou oblasťou Schwarzschildovho priestoru, pozri obr. vyššie. Práve o takýchto situáciách sa v astrofyzike hovorí ako o vzniku čiernych dier, ktoré formálne pohľadu je určitá sloboda prejavu. Zvonku sa však tento objekt veľmi skoro stane prakticky nerozoznateľným od čiernej diery vo všetkých svojich vlastnostiach, preto sa tento pojem aplikuje na výslednú konfiguráciu s veľmi vysokou mierou presnosti.

Podľa moderných koncepcií existujú štyri scenáre pre vznik čiernej diery:

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/98/b81b094b46e9f548a51e83931dca770b.png" border="0">

Čierne diery s hviezdnou hmotnosťou

Čierne diery s hviezdnou hmotnosťou vznikajú ako posledná etapa v živote hviezdy, po úplnom vyhorení termojadrového paliva a zastavení reakcie by sa hviezda mala teoreticky začať ochladzovať, čo povedie k poklesu vnútorného tlaku a stlačenie hviezdy vplyvom gravitácie. Kompresia sa môže v určitom štádiu zastaviť alebo sa môže zmeniť na rýchly gravitačný kolaps. V závislosti od hmotnosti hviezdy a momentu hybnosti sú možné tieto konečné stavy:

• Vyhasnutá, veľmi hustá hviezda, ktorá sa v závislosti od hmotnosti skladá predovšetkým z hélia, uhlíka, kyslíka, neónu, horčíka, kremíka alebo železa (hlavné prvky sú uvedené v poradí podľa hmotnosti zvyšku hviezdy).
• Biely trpaslík, ktorého hmotnosť je obmedzená nad hranicou Chandrasekhar.
• Neutrónová hviezda, ktorej hmotnosť je obmedzená Oppenheimer-Volkoffovým limitom.
• Čierna diera.

Keď sa hmotnosť zvyšku hviezdy zvyšuje, rovnovážna konfigurácia sa pohybuje nadol pozdĺž opísanej sekvencie. Krútiaci moment zvyšuje maximálnu hmotnosť v každej fáze, ale nie kvalitatívne, ale kvantitatívne (maximálne 2-3 krát).

Podmienky (hlavne hmotnosť), za ktorých je konečným stavom hviezdneho vývoja čierna diera, neboli dostatočne študované, pretože si to vyžaduje znalosť správania a stavov hmoty pri extrémne vysokých hustotách, ktoré sú pre experimentálne štúdium neprístupné. Modelovanie hviezd v neskorých štádiách ich vývoja predstavuje ďalšie ťažkosti v dôsledku zložitosti vznikajúceho chemického zloženia a prudkého poklesu charakteristického času procesov. Stačí spomenúť, že niektoré z najväčších kozmických katastrof, výbuchy supernov, sa vyskytujú práve v týchto štádiách hviezdneho vývoja. Rôzne modely poskytujú nižší odhad hmotnosti čiernej diery v dôsledku gravitačného kolapsu z 2,5 na 5,6 hmotnosti Slnka. Polomer čiernej diery je veľmi malý – niekoľko desiatok kilometrov.

Následne môže čierna diera rásť v dôsledku absorpcie hmoty - spravidla ide o plyn susednej hviezdy v dvojhviezdnych sústavách (zrážka čiernej diery s iným astronomickým objektom je veľmi nepravdepodobná pre jej malý priemer ). Proces pádu plynu na akýkoľvek kompaktný astrofyzikálny objekt vrátane čiernej diery sa nazýva

V roku 1916, len pár mesiacov po tom, čo Einstein publikoval svoje rovnice gravitačného poľa vo všeobecnej teórii relativity, nemecký astronóm Karl Schwarzschild našiel riešenie týchto rovníc, ktoré opísali jednoduchú čiernu dieru. Schwarzschildova čierna diera je „jednoduchá“ v tom zmysle, že je sféricky symetrická (to znamená, že nemá žiadny „preferovaný“ smer, povedzme os rotácie) a je charakterizovaná iba hmotnosťou. Preto sa neberú do úvahy komplikácie spôsobené rotáciou, elektrickým nábojom a magnetickým poľom.

Od roku 1924 si fyzici a matematici začali uvedomovať, že v Schwarzschildovom riešení rovníc gravitačného poľa je niečo neobvyklé. Toto riešenie má najmä matematickú črtu na horizonte udalostí. Sir Arthur Eddington ako prvý vybral nový súradnicový systém, v ktorom tento efekt chýba. V roku 1933 Georges Lemaître posunul tento výskum ďalej. Avšak až John Lighton Synge odhalil (v roku 1950) skutočnú podstatu geometrie Schwarzschildovej čiernej diery, čím otvoril cestu pre následné dôležité práce M. D. Kruskala a G. Szekeresa v roku 1960.

Aby sme pochopili detaily, vyberme si najprv troch chlapíkov – Borya, Vasya a Masha – a predstavme si, že sa vznášajú v priestore (obr. 9.1). Vždy môžete vziať ľubovoľný bod v priestore a určiť polohy všetkých troch meraním vzdialeností od nich k tomuto bodu. Napríklad Borya je od tohto ľubovoľného východiskového bodu vzdialená 1 km, Vasja 2 km a Máša 4 km. Charakteristika polohy sa v tomto prípade zvyčajne označuje písmenom r a nazýva sa radiálna vzdialenosť. Týmto spôsobom môžete vyjadriť vzdialenosť k akémukoľvek objektu vo vesmíre.

Všimnime si teraz, že naši traja kamaráti sú nehybní v priestore, ale „pohybujú sa“ v čase, pretože starnú a starnú. Túto vlastnosť možno znázorniť na časopriestorovom diagrame (obr. 9.2). Vzdialenosť od ľubovoľného počiatočného referenčného bodu ("začiatku") k inému bodu v priestore je vykreslená pozdĺž horizontálnej osi a čas - pozdĺž vertikály. Okrem toho, ako v parciálnej teórii relativity, je vhodné na súradnicových osiach tohto grafu zobrať také mierky, aby boli svetelné lúče opísané priamkou so sklonom 45°. V takomto časopriestorovom diagrame smerujú svetové čiary všetkých troch ľudí vertikálne nahor. Vždy zostávajú v rovnakej vzdialenosti od východiskového bodu ( r = 0), ale postupne starnú a starnú.

Je dôležité si uvedomiť, že naľavo od bodu r = 0 na obr. 9.2 nie je vôbec nič. Táto oblasť zodpovedá niečomu, čo možno nazvať „negatívnym priestorom“. Keďže nie je možné byť „vo vzdialenosti mínus 3 m“ od akéhokoľvek bodu (začiatku), vzdialenosti od počiatku sú vždy vyjadrené kladnými číslami.

Prejdime teraz k Schwarzschildovej čiernej diere. Ako bolo uvedené v predchádzajúcej kapitole, takáto diera pozostáva z singularity obklopenej horizontom udalostí vo vzdialenosti 1 Schwarzschildovho polomeru. Obraz takejto čiernej diery vo vesmíre je na obr. 9.3 vľavo. Pri zobrazovaní čiernej diery na časopriestorovom diagrame je ľubovoľný východiskový bod pre pohodlie kompatibilný s singularitou. Potom sa vzdialenosti merajú priamo od singularity pozdĺž polomeru. Výsledný časopriestorový diagram je znázornený na obr. 9.3 vpravo. Tak ako sú naši priatelia Borya, Vasya a Masha znázornení na obr. 9.2 vertikálnymi svetočiarami ide svetová čiara horizontu udalostí vertikálne nahor presne o 1 Schwarzschildov polomer napravo od svetočiary singularity, ktorá na obr. 9.3 je znázornená ako pílová čiara.

Hoci na obr. 9.3, zobrazujúci Schwarzschildovu čiernu dieru v časopriestore, ako keby tam nebolo nič tajomné, začali fyzici začiatkom 50. rokov chápať, že tento diagram nevyčerpáva podstatu veci. Čierna diera má rôzne oblasti časopriestoru: prvú medzi singularitou a horizontom udalostí a druhú mimo horizontu udalostí. my nepodarilo plne vyjadrené na pravej strane obr. 9.3, ako presne sú tieto oblasti navzájom prepojené.

Aby ste pochopili vzťah medzi oblasťami časopriestoru vo vnútri a mimo horizontu udalostí, predstavte si čiernu dieru s hmotnosťou 10 hmotností Slnka. Nechajte astronóma vyletieť z singularity, preletieť cez horizont udalostí, vzniesť sa do maximálnej výšky 1 milión kilometrov nad čiernou dierou a potom spadnúť cez horizont udalostí a spadnúť späť do singularity. Let astronóma je znázornený na obr. 9.4.

Pozornému čitateľovi sa to môže zdať nemožné – veď vyskočiť z jedinečnosti sa vôbec nedá! Obmedzme sa na čisto odkazovanie matematický možnosť takéhoto výletu. Ako bude vidieť nižšie, kompletné Schwarzschildovo riešenie obsahuje čierne aj Takže a biela diera. Preto bude v nasledujúcich častiach potrebná trpezlivosť a pozornosť čitateľa. Tu a v ďalších kapitolách budeme ilustrovať príbeh pomocou ciest astronómov či kozmonautov k čiernym dieram. Pre pohodlie budeme astronauta jednoducho označovať ako „on“.

Cestujúci astronóm nosí so sebou hodinky na meranie vlastného času. Vedci, ktorí zostali doma, monitorujúci jeho let zo vzdialenosti 1 milióna kilometrov od čiernej diery, majú aj hodinky. Priestor je plochý a hodiny merajú súradnicový čas. Po dosiahnutí najvyššieho bodu trajektórie (vo vzdialenosti milión kilometrov od čiernej diery) Všetky Hodiny sú nastavené na rovnaký okamih (synchronizované) a teraz ukazujú 12:00. Potom môžeme vypočítať, v akom okamihu (podľa vlastného času cestovateľa aj podľa súradnicového času) astronóm dosiahne každý bod svojej trajektórie, ktorý nás zaujíma.

Pripomeňme, že astronómove hodinky merajú jeho vlastný čas. Preto z nich nie je možné postrehnúť „spomalenie času“ spôsobené účinkom gravitačného červeného posunu. Pre dané hodnoty hmotnosti čiernej diery a výšky najvyššieho bodu dráhy nad ňou vedú výpočty k tomuto výsledku:

V čase astronóma

1. Astronóm vyletí zo singularity o 11:40 (podľa vlastných hodín).
2. 1/10 000 s po 11:40 preletí cez horizont udalostí do vonkajšieho sveta.
3. O 12:00 dosiahne maximálnu výšku 1 milión kilometrov nad čiernou dierou.
4. Za jednu 1/10 000 sekundy pred 12:20 prekročí horizont udalostí a pohybuje sa dovnútra.
5. Astronóm sa vracia k singularite o 12:20.

Inými slovami, prechod od singularity k horizontu udalostí a späť trvá rovnaký čas – 1/10 000 s, zatiaľ čo prechod z horizontu udalostí do najvyššieho bodu svojej trajektórie a naopak strávi zakaždým 20 minút ( za 20 minút prejde 1 milión kilometrov). Treba mať na pamäti, že správny čas počas letu plynie štandardným spôsobom.

Vedci vykonávajúci pozorovania z diaľky merajú čas pomocou svojich hodín; ich výpočty dávajú tieto výsledky:

V koordinovanom čase

Samozrejme, všetci súhlasia s tým, že cestujúci astronóm dosiahne svoju maximálnu výšku letu o 12. hodine, t.j. okamih, v ktorom sú všetky hodiny synchronizované. Všetci sa zhodnú aj na tom, kedy astronóm zo singularity vyletí a kedy sa do nej vráti. Ale v iných ohľadoch je Schwarzschildova geometria zjavne abnormálna. Po odklone od singularity sa astronóm pohybuje v súradnicovom čase späť v čase do roka Potom sa opäť ponáhľa vpred v čase, maximálnu letovú výšku dosiahne na poludnie a klesne pod horizont udalostí roka. Potom sa opäť pohne späť v čase a spadá do singularity o 12:20 hod. V časopriestorovom diagrame má jeho svetová čiara tvar znázornený na obr. 9.5.

Niektoré z týchto zvláštnych zistení možno pochopiť intuitívne. Pripomeňme si, že z pohľadu vzdialeného pozorovateľa (ktorého hodiny merajú súradnicový čas) sa čas zastaví na horizonte udalostí. Pamätajme aj na to, že kameň alebo akékoľvek iné telo padá na horizont udalostí nikdy nedosiahne bod s výškou Schwarzschildovho polomeru v pohľade vzdialeného pozorovateľa. Preto astronóm padajúci do čiernej diery nemôže prekročiť horizont udalostí skôr ako o rok, teda v nekonečne vzdialenej budúcnosti. Keďže celá cesta je symetrická vzhľadom na moment 12:00 (t. j. vzlet a pád trvá rovnaký čas), vzdialení vedci musieť pozorovať, že astronóm stúpa a pohybuje sa k nim už miliardy rokov. Ročne sa musí posunúť smerom von k horizontu udalostí.

Ešte nepochopiteľnejšia je skutočnosť, ktorú vidia vzdialení pozorovatelia dva pohybujúcich sa astronómov. Takže napríklad o 3. hodine popoludní vidia jedného astronóma padať na horizonte udalostí (pohybuje sa v čase). Podľa ich vlastných výpočtov však musieť v horizonte udalostí môže byť aj ďalší astronóm, ktorý spadá do singularity (a pohybuje sa späť v čase).

Samozrejme je to nezmysel. Presnejšie povedané, toto zvláštne správanie súradnicového času znamená, že to, čo je znázornené na obr. 9.3, obrázok Schwarzschildovej čiernej diery jednoducho nemôže byť správny. Musíme hľadať iné – a môže ich byť veľa – skutočné časopriestorové diagramy pre čiernu dieru. V jednoduchom diagrame znázornenom na obr. 9.5 sa ukázalo, že tie isté oblasti časopriestoru sa prekrývajú dvakrát, a preto sú pozorovaní dvaja astronómovia naraz, zatiaľ čo v skutočnosti je len jeden. To znamená, že musíte tento jednoduchý obrázok rozšíriť alebo premeniť tak, aby odhalil ten pravý, resp globálneštruktúra celého časopriestoru spojená so Schwarzschildovou čiernou dierou.

Ak chcete lepšie pochopiť, ako by mal tento globálny obraz vyzerať, zvážte horizont udalostí. V zjednodušenom dvojrozmernom časopriestorovom diagrame (pozri pravú stranu obr. 9.3) je horizontom udalostí čiara prebiehajúca od okamihu (vzdialená minulosť) k okamihu (vzdialená budúcnosť) a nachádza sa presne 1 Schwarzschildov polomer od singularity. Takáto čiara samozrejme správne zobrazuje umiestnenie povrchu gule v bežnom trojrozmernom priestore. Ale keď sa fyzici pokúsili vypočítať objem tejto gule, na svoje počudovanie zistili, že sa rovná nula. Ak je objem určitej gule nulový, potom je to samozrejme len bod. Inými slovami, fyzici začali mať podozrenie, že táto „čiara“ v zjednodušenom diagrame by mala byť v skutočnosti bodom v globálnom obraze čiernej diery!

Predstavte si navyše, že ľubovoľný počet astronómov vyskočí zo singularity, vyletí do rôznych maximálnych výšok nad horizontom udalostí a opäť spadne. Bez ohľadu na to, kedy presne boli vyhodení zo singularity a bez ohľadu na to, v akej presnej výške nad horizontom udalostí vzlietli, Všetky prekročí horizont udalostí v momentoch súradnicového času (na ceste von) a (na ceste späť). V dôsledku toho budú bystrí fyzici tiež tušiť, že tieto dva „body“ a , musia byť nevyhnutne zastúpené v globálnom obraze čiernej diery vo forme dvoch segmentov svetových čiar!

Aby sme prešli od zjednodušeného obrazu čiernej diery k jej globálnemu obrazu, musíme náš zjednodušený obraz premeniť na oveľa zložitejší časopriestorový diagram. A predsa naším konečným výsledkom bude nový časopriestorový diagram! V tomto diagrame budú priestorové veličiny smerované horizontálne (zľava doprava) a časovo podobné veličiny budú smerované vertikálne (zdola nahor). Inými slovami, transformácia by tak mala fungovať starý priestorové a časové súradnice boli nahradené Nový priestorové a časové súradnice, ktoré by odrážali úplne skutočnú povahu čiernej diery.

Ak sa chcete pokúsiť pochopiť, ako môžu staré a nové súradnicové systémy navzájom súvisieť, zvážte pozorovateľa v blízkosti čiernej diery. Aby sa vyhla pádu do čiernej diery a zostala od nej v konštantnej vzdialenosti, musí mať výkonné raketové motory, ktoré vystrekujú prúdy plynov smerom nadol. V plochom časopriestore, ďaleko od gravitujúcich hmôt, by nadobudla kozmická loď so spustenými motormi zrýchlenie a pohyboval by sa stále rýchlejšie, pretože ťah raketových motorov by jej zabezpečoval neustále zvyšovanie rýchlosti. Svetová čiara takejto lode je znázornená v časopriestorovom diagrame na obr. 9.6. Táto čiara sa postupne približuje k priamke so sklonom 45º, keďže v dôsledku nepretržitej prevádzky motorov sa rýchlosť lode blíži rýchlosti svetla. Krivka znázorňujúca takúto svetočiaru je tzv hyperbola. Pozorovateľ, ktorý je blízko čiernej diery a snaží sa od nej zostať v konštantnej vzdialenosti, bude neustále zažívať zrýchlenie spôsobené prácou raketových motorov lode. Bystrí fyzici budú mať preto podozrenie, že čiary „konštantnej výšky“ v revidovanom a vylepšenom diagrame časopriestoru v blízkosti čiernej diery budú vetvami hyperbol.

Napokon, pozorovateľ, ktorý sa snaží zostať na horizonte udalostí, musí mať neskutočne silné raketové motory. Aby sa zabránilo jeho pádu do čiernej diery, tieto motory musia pracovať s takou silou, že ak by sa pozorovateľ nachádzal v plochom svete, pohyboval by sa rýchlosťou svetla. To znamená, že svetové čiary horizontu udalostí by mali byť v revidovanom a vylepšenom časopriestorovom diagrame naklonené presne o 45°.

V roku 1960, nezávisle od seba, Kruskal a Szekeres našli požadované transformácie, transformujúc starý časopriestorový diagram Schwarzschildovej čiernej diery na nový diagram – revidovaný a vylepšený. Tento nový Kruskal-Szekeresov diagram správne pokrýva celý časopriestor a plne odhaľuje globálnu štruktúru čiernej diery. Zároveň sú potvrdené všetky predtým zaznamenané podozrenia a objavené nové prekvapivé a neočakávané detaily. Aj keď transformácie Kruskala a Szekeresa okamžite transformujú starý obraz na nový, je lepšie si ich predstaviť vo forme postupnosti transformácií, schematicky znázornených na obr. 9.7. Konečným výsledkom je opäť diagram časopriestoru (priestorový smer je horizontálny a smer času je vertikálny), pričom lúče svetla smerujúce do a z čiernej diery sú znázornené, ako obvykle, ako priame čiary so sklonom 45º. .

Konečný výsledok premeny je zarážajúci a spočiatku vzbudzuje nedôveru: vidíte, že sú tam zobrazené vlastne dve singularity, jedna v minulosti a druhá v budúcnosti; okrem toho existujú dva vonkajšie vesmíry ďaleko od čiernej diery.

Ale v skutočnosti je Kruskal-Szekeresov diagram správny a aby sme tomu porozumeli, opäť zvážime let astronóma vyhodeného zo singularity, ktorý prekročí horizont udalostí a opäť spadne. Už vieme, že jej svetová čiara v zjednodušenom časopriestorovom diagrame je nezvyčajná. Táto čiara je opäť znázornená vľavo na obr. 9.8. V Kruskal-Szekeresovom diagrame (obr. 9.8 vpravo) vyzerá takáto čiara oveľa zmysluplnejšie. Pozorovateľ v skutočnosti vyskočí z singularity v minulosti a skončí v singularite v budúcnosti. V dôsledku toho takýto „analyticky úplný“ opis Schwarzschildovho riešenia zahŕňa Akočierna, Takže a biela diera. Náš astronóm skutočne vyletí z bielej diery a nakoniec spadne do čiernej diery. Upozorňujeme, že jeho svetová čiara je všade naklonená k vertikále o menej ako 45º, t.j. tento riadok je všade podobný času, a preto je prípustný. Pri porovnaní ľavej a pravej časti obr. 9.8 zistíte, že „body“ okamihov a na horizonte udalostí sa teraz roztiahli do dvoch rovných čiar so sklonom 45°, čo potvrdzuje naše predchádzajúce podozrenia.

Pri prechode na Kruskal-Szekeresov diagram sa odhalí skutočná povaha celého časopriestoru v blízkosti Schwarzschildovej čiernej diery. V zjednodušenom diagrame sa rôzne oblasti časopriestoru navzájom prekrývali. Preto vzdialení vedci, ktorí pozorovali pád astronóma do čiernej diery (alebo jeho odchod z nej), mylne predpokladali, že dva astronóm Kruskal-Szekeresov diagram správne rozdeľuje tieto prekrývajúce sa oblasti. Na obr. Obrázok 9.9 ukazuje, ako tieto rôzne oblasti navzájom súvisia v oboch typoch diagramov. V skutočnosti existujú dva vonkajšie vesmíry (oblasti I a III), ako aj vnútorné časti čiernej diery (oblasti II a IV) medzi singularitami a horizontom udalostí.

Je tiež užitočné analyzovať, ako sa jednotlivé časti časopriestorovej siete transformujú pri prechode zo zjednodušeného diagramu na Kruskalov-Szekeresov diagram. V zjednodušenom znázornení (obr. 9.10) sú prerušované čiary konštantných výšok nad singularitou jednoducho rovné čiary smerujúce zvisle. Bodkované čiary konštantného súradnicového času sú tiež rovné, ale vodorovné. Časopriestorová mriežka vyzerá ako kus obyčajného milimetrového papiera.

V Kruskal-Szekeresovom diagrame (obrázok 9.11) zostávajú konštantné časové čiary (prerušované čiary) rovné, ale teraz sa rozchádzajú v rôznych uhloch. Čiary konštantnej vzdialenosti od čiernej diery (prerušované čiary) sú hyperboly, ako sme tušili predtým.

Analýza Obr. 9.11 je možné pochopiť, prečo pri prechode horizontom udalostí priestor a čas menia roly, ako už bolo spomenuté v predchádzajúcej kapitole. Pripomeňme, že v zjednodušenom diagrame (pozri obr. 9.10) sú čiary konštantnej vzdialenosti smerované vertikálne. Takže špecifická prerušovaná čiara môže predstavovať bod, ktorý sa neustále nachádza vo výške 10 km nad čiernou dierou. Takáto čiara by mala byť na zjednodušenom diagrame rovnobežná s horizontom udalostí, t.j. musí byť vertikálna; keďže vždy zobrazuje niečo stacionárne, čiara konštantnej vzdialenosti musí mať v tomto zjednodušenom diagrame smer podobný času (inými slovami hore).

Na obr. Obrázok 9.11 ukazuje Kruskalov-Szekeresov diagram; tu majú prerušované čiary konštantnej vzdialenosti všeobecný smer nahor, ak sú dostatočne ďaleko od čiernej diery. Tam sú stále podobné času. V rámci horizontu udalostí sú však prerušované čiary konštantnej vzdialenosti orientované všeobecne horizontálne. To znamená, že pod horizontom udalostí majú čiary konštantnej vzdialenosti smer podobný priestoru! V dôsledku toho sa to, čo je zvyčajne (vo vonkajšom vesmíre) spojené so vzdialenosťou, správa ako čas v horizonte udalostí.

Podobne v zjednodušenom diagrame (pozri obr. 9.10) sú konštantné časové čiary horizontálne a majú smer podobný priestoru. Napríklad konkrétna bodkovaná čiara môže znamenať moment „3 hodiny popoludní pre všetky body vo vesmíre“. Takáto čiara by mala byť v zjednodušenom diagrame rovnobežná s priestorovou osou, t.j. mala by byť vodorovná.

Na obr. Na obrázku 9.11, ktorý ukazuje Kruskalov-Szekeresov diagram, majú bodkované čiary konštantného času vo všeobecnosti smer podobný priestoru, keď sú brané ďaleko od čiernej diery, t.j. sú tam takmer vodorovne. Ale vo vnútri horizontu udalostí sú bodkované čiary konštantného času vo všeobecnosti smerované zdola nahor, t.j. orientované v časovom smere. Takže pod horizontom udalostí majú konštantné časové línie smer podobný času! V dôsledku toho sa to, čo je zvyčajne (vo vonkajšom vesmíre) spojené s časom, správa ako vzdialenosť v horizonte udalostí. Pri prekročení horizontu udalostí priestor a čas menia úlohy.

V súvislosti s diskusiou o vlastnostiach priestoru a času je dôležité poznamenať, že v Kruskal-Szekeresovom diagrame (obr. 9.11) sú obe singularity (minulé aj budúce) orientované horizontálne. Obe hyperboly zobrazujúce „bod“ r= 0, mať sklon všade menej ako 45º k vertikály. Tieto čiary sú priestorové, a preto sa Schwarzschildova singularita považuje za priestorovú.

Skutočnosť, že Schwarzschildova singularita je podobná priestoru, povedie k dôležitým záverom. Rovnako ako v špeciálnej teórii relativity (pozri obr. 1.9), aj tu sa nemožno pohybovať nadsvetelnou rýchlosťou, takže vesmírne čiary ako „cesty“ pohybu sú zakázané. Nie je možné pohybovať sa pozdĺž svetových čiar so sklonom väčším ako 45° k vertikálnemu (časovému) smeru. Preto je nemožné dostať sa z nášho Vesmíru (v Kruskal-Szekeresovom diagrame vpravo) do iného Vesmíru (v rovnakom diagrame vľavo). Akákoľvek cesta spájajúca oba Vesmíry medzi sebou musí byť aspoň na jednom mieste podobná priestoru a pohyb po takýchto cestách je zakázaný. Navyše, keďže je horizont udalostí naklonený presne pod uhlom 45º, astronóm z nášho vesmíru, ktorý zostúpi pod tento horizont, sa už nikdy nebude môcť spod neho vynoriť. Napríklad, ak niekto infiltruje oblasť II na obr. potom 9.9 Všetky platné časové svetočiary by to viedli priamo k singularite. Schwarzschildova čierna diera je pasca, z ktorej niet východiska.

Aby sme získali lepší prehľad o povahe Kruskal-Szekeresovej geometrie, je poučné zvážiť priestorové rezy časopriestorového diagramu vytvoreného týmito autormi. Toto budú hniezdne diagramy zakrivený priestor v blízkosti čiernej diery. Túto metódu získavania výrezov časopriestoru pomocou priestorových hyperpovrchov sme používali už skôr (pozri obr. 5.9, 5.10 a 5.11) a uľahčili pochopenie vlastností priestoru v blízkosti Slnka.

Na obr. Obrázok 9.12 ukazuje Kruskalov-Szekeresov diagram „rozrezaný“ pozdĺž charakteristických priestorových hyperpovrchov. Plátok A odkazuje na skorý časový bod. Spočiatku dva vesmíry nachádzajúce sa mimo čiernej diery nie sú navzájom spojené. Na ceste z jedného vesmíru do druhého sa výsek podobný priestoru stretáva s jedinečnosťou. Preto diagram hniezdenia pre rez A opisuje dva oddelené vesmíry (znázornené ako dva asymptoticky ploché listy navzájom rovnobežné), z ktorých každý má jedinečnosť. Neskôr, s ďalším vývojom týchto Vesmírov, sa singularity spájajú a vzniká most, v ktorom už žiadne singularity nie sú. To zodpovedá rezu B, kde singularita nevstupuje. Postupom času sa tento most, príp "krtkova diera", expanduje a dosahuje maximálny priemer rovný dvom Schwarzschildovým polomerom (moment zodpovedajúci rezu IN). Neskôr sa most začne opäť napínať (rez G) a nakoniec sa zlomí (strih D), takže máme opäť dva oddelené vesmíry. Tento vývoj červej diery (obr. 9.12) trvá menej ako 1/10 000 s, ak má čierna diera hmotnosť Slnka.

Objav Kruskala a Szekeresa o podobnej globálnej štruktúre časopriestoru okolo čiernej diery bol rozhodujúcim prielomom na fronte teoretickej astrofyziky. Prvýkrát bolo možné zostaviť diagramy, ktoré úplne zobrazujú všetky oblasti priestoru a času. Ale po roku 1960 boli dosiahnuté ďalšie úspechy, najmä Roger Penrose. Hoci Kruskal-Szekeresov diagram predstavuje celý príbeh, diagram sa rozširuje doprava a doľava na neurčito. Napríklad náš vesmír sa na Kruskal-Szekeresovom diagrame rozprestiera nekonečne doprava, zatiaľ čo časopriestor „iného“ asymptoticky plochého vesmíru, ktorý je paralelný s naším, sa na tom istom diagrame rozprestiera do nekonečna. Penrose si ako prvý uvedomil, aké užitočné a poučné by bolo použiť „mapu“, ktorá zmapovala tieto nekonečné rozlohy do niektorých konečných oblastí, z ktorých by bolo možné presne posúdiť, čo sa deje ďaleko od čiernej diery. Na realizáciu tejto myšlienky Penrose použil metódy tzv konformné mapovanie, pomocou ktorého je celý časopriestor vrátane oboch Vesmírov v celku znázornený na jednom konečnom diagrame.

Aby sme predstavili Penroseove metódy, pozrime sa na obyčajný plochý časopriestor typu znázorneného na obr. 9.2. Celý časopriestor je sústredený na pravej strane diagramu jednoducho preto, že nie je možné byť v zápornej vzdialenosti od ľubovoľného pôvodu. Môžete byť od neho povedzme 2 m, ale určite nie mínus 2 m. Vráťme sa k obr. 9.2. Svetové línie Bory, Vasya a Masha sú tam zobrazené iba v obmedzenom priestore časopriestoru kvôli obmedzenej veľkosti stránky. Ak chcete vidieť, kde budú Borja, Vasja a Máša o tisíc rokov alebo kde boli pred miliardou rokov, budete potrebovať oveľa väčší list papiera. Oveľa pohodlnejšie by bolo znázorniť všetky tieto polohy (udalosti) ďaleko od bodu „tu a teraz“ na kompaktnom, malom diagrame.

Už sme videli, že sa nazývajú „najvzdialenejšie“ oblasti časopriestoru nekonečna. Tieto oblasti sú extrémne vzdialené od tu a teraz v priestore alebo čase (to znamená, že môžu byť vo veľmi vzdialenej budúcnosti alebo veľmi vzdialenej minulosti). Ako je možné vidieť z obr. 9.13 môže byť päť typov nekonečna. V prvom rade toto ja - -časové nekonečno v minulosti. Je to „miesto“, z ktorého pochádzajú všetky hmotné objekty (Borya, Vasya, Masha, Zem, galaxie a všetko ostatné). Všetky takéto objekty sa pohybujú pozdĺž časových svetových línií a musia ísť dovnútra I+ - časové nekonečno budúcnosti, niekde miliardy rokov po „teraz“. Okrem toho existuje ja 0 - vesmírne nekonečno, a keďže sa nič nemôže pohybovať rýchlejšie ako svetlo, potom sa nič (možno okrem tachyónov) nemôže dostať dovnútra ja 0 . Ak sa žiadny objekt známy fyzike nepohybuje rýchlejšie ako svetlo, potom sa fotóny pohybujú presne rýchlosťou svetla pozdĺž svetových čiar naklonených o 45º na časopriestorovom diagrame. To vám umožní zadať " - svetelné nekonečno minulosti, odkiaľ pochádzajú všetky svetelné lúče. Konečne existuje a - svetelné nekonečno budúcnosti(kam smerujú všetky "lúče svetla".) Každá vzdialená oblasť časopriestoru patrí do jedného z týchto piatich nekonečností; ja -, , ja 0 , alebo I+.

Ryža. 9.13. Nekonečno. Najvzdialenejšie „okraje“ časopriestoru (nekonečno) sú rozdelené do piatich typov. Časové nekonečno minulosti ( ja -) je oblasť, z ktorej pochádzajú všetky hmotné telá, a časové nekonečno budúcnosti ( I+) je oblasť, kam všetci chodia. Svetelné nekonečno minulosti () je oblasť, z ktorej prichádzajú svetelné lúče, a svetelná nekonečnosť budúcnosti je táto oblasť ( I+), kam idú. Nič (okrem tachyónov) sa nemôže dostať do vesmíru ako nekonečno ( ja 0).

Ryža. 9.14. Penroseovo konformné mapovanie. Existuje matematická technika, pomocou ktorej je možné „stiahnuť“ najvzdialenejšie okraje časopriestoru (všetkých päť nekonečností) do úplne viditeľnej konečnej oblasti.

Penroseova metóda vychádza z matematickej techniky kontrahovania všetkých týchto nekonečností na ten istý list papiera. Transformácie, ktoré vykonávajú takúto kontrakciu, pôsobia ako buldozéry (pozri obrazové znázornenie týchto transformácií na obr. 9.14), ktoré hrabú najvzdialenejšie úseky časopriestoru tam, kde ich možno lepšie vidieť. Výsledok tejto transformácie je znázornený na obr. 9.15. Treba mať na pamäti, že čiary konštantnej vzdialenosti od ľubovoľného referenčného bodu sú väčšinou vertikálne a vždy označujú smer podobný času. Konštantné časové čiary sú väčšinou horizontálne a vždy označujú smer podobný priestoru.

Zapnuté konformný mapa celého plochého časopriestoru (obr. 9.15), časopriestor ako celok zapadá do trojuholníka. Celé časové nekonečno je v minulosti ( ja -) sa zhromažďuje do jedného jediného bodu v spodnej časti diagramu. Z tohto bodu sa vynárajú všetky časové línie všetkých hmotných objektov, ktoré predstavujú extrémne vzdialenú minulosť. Celé časové nekonečno v budúcnosti ( I+) sa zhromažďuje do jedného bodu v hornej časti diagramu. Časom podobné svetové čiary všetkých hmotných objektov vo vesmíre nakoniec skončia v tomto bode, ktorý predstavuje vzdialenú budúcnosť. Vesmírne nekonečno ( ja 0) sa zhromažďuje v bode vpravo v diagrame. Nič (okrem tachyónov) sa tam nikdy nedostane ja 0 Svetelné nekonečno v minulosti a v budúcnosti a zmenili sa na priame čiary so sklonom 45°, obmedzujúce diagram vpravo hore a vpravo dole pozdĺž uhlopriečok. Svetelné lúče vždy sledujú svetové línie so sklonom 45°, takže svetlo prichádzajúce z dávnej minulosti začína svoju cestu niekde v , a ten, kto ide do ďalekej budúcnosti, končí svoju cestu niekde ďalej . Vertikálna čiara ohraničujúca diagram vľavo je jednoducho časovo podobná svetová čiara nášho zvoleného ľubovoľného počiatočného bodu ( r = 0).

Ryža. 9.15. Penrosov diagram pre plochý časopriestor. Všetok časopriestor sa zhromažďuje vo vnútri trojuholníka pomocou metódy konformného mapovania, ktorú vynašiel Penrose. Z piatich nekonečna tri ( ja -, ja 0 , I+ ) sú stlačené do jednotlivých bodov a dva sú svetelné nekonečná A- stali sa rovnými čiarami so sklonom 45º.	Ryža. 9.16. Príklad konformného Penroseovho diagramu. Tento diagram ukazuje v podstate to isté ako obr. 9.2. V konformnom diagrame sú však svetové línie objektov znázornené úplne (z dávnej minulosti ja - až do ďalekej budúcnosti I+).

Na záver opisu konformného Penrosovho diagramu plochého časopriestoru sme ho znázornili na obr. 9.16 úplne svetové línie Bori, Vasya a Masha. Porovnajte tento diagram s obr. 9.2 - to je predsa jedna a tá istá vec, len na konformnom diagrame možno vysledovať svetové čiary po celej ich dĺžke (z dávnej minulosti ja -љ až do ďalekej budúcnosti I+)

Penroseovo zobrazenie obyčajného plochého časopriestoru neprináša nič senzačné. Penroseova metóda však platí aj pre čierne diery! Najmä Kruskal-Szekeresov diagram (pozri obr. 9.11) môže byť zobrazený konformne takým spôsobom, že fyzik vidí Všetkyčasopriestor všetkých vesmírov zobrazený na jedinom papieri. Ako je to jasne znázornené na obr. 9.17, Penroseove konformné transformácie tu opäť fungujú ako buldozéry „hrabúce“ časopriestor. Konečný výsledok je znázornený na obr. 9.18.

V Penroseovom diagrame Schwarzschildovej čiernej diery (obrázok 9.18) si opäť všimneme, že konštantné časové čiary a čiary konštantnej vzdialenosti sa správajú v podstate rovnako ako v Kruskal-Szekeresovom diagrame. Horizont udalostí si zachováva sklon 45º a singularity (minulé aj budúce) zostávajú priestorové. K výmene rolí medzi priestorom a časom, ako predtým, dochádza pri prekročení horizontu udalostí. Teraz sú však pred našimi očami najvzdialenejšie časti oboch vesmírov spojené s čiernou dierou. Všetkých päť nekonečností nášho vesmíru ( ja -, , ja 0 , , I+ ) sú na diagrame viditeľné vpravo a vľavo na ňom vidíte všetkých päť nekonečností iného Vesmíru ( ja -, , ja 0 , , I+ ).

Teraz môžeme prejsť k poslednému cvičeniu so Schwarzschildovou čiernou dierou – zistiť, čo uvidia zúfalo zvedaví astronómovia kamikadze, keď spadnú do čiernej diery a prechod Horizont udalostí.

Kozmická loď týchto astronómov je znázornená na obr. 9.19. Predný otvor je vždy nasmerovaný priamo na singularitu a zadný otvor je vždy nasmerovaný opačným smerom, t. j. k nášmu vonkajšiemu Vesmíru. Všimnite si, že kozmická loď teraz nemá raketové motory, ktoré by spomalili jej pád. Začínajúc z veľkej výšky nad čiernou dierou astronómovia jednoducho padajú vertikálne stále sa zvyšujúcou (podľa ich meraní) rýchlosťou. Ich svetová čiara (obr. 9.20) prechádza najskôr horizontom udalostí a potom vedie k singularite. Keďže ich rýchlosť je vždy menšia ako rýchlosť svetla, svetová čiara lode na Penroseovom diagrame by mala byť časovo podobná, t.j. všade majú sklon k vertikále menší ako 45°. Počas cesty astronómovia urobia štyri páry fotografií v rôznych fázach cesty - jednu z každého okienka. Prvý pár (fotky A) vyrobené, keď boli ešte veľmi ďaleko od čiernej diery. Na obr. 9,21, Ačierna diera je viditeľná ako malá škvrna v strede zorného poľa predného okna. Hoci je obloha v bezprostrednej blízkosti čiernej diery skreslená, zvyšok oblohy vyzerá úplne normálne. Ako sa rýchlosť, ktorou astronómovia padajú do čiernej diery, zvyšuje, svetlo z objektov vo vzdialenom vesmíre, ktoré je vidieť cez zadné okno, je čoraz viac červené.

Ryža. 9.21. Foto A. Ďaleko od čiernej diery. Z veľkej diaľky sa čierna diera javí ako malá čierna škvrna v strede zorného poľa predného okna. Astronómovia padajúci do diery pozorujú zadným oknom neskreslený pohľad na vesmír, z ktorého prišli. Foto B. Ani horizont udalostí. V dôsledku aberačného efektu je obraz čiernej diery stlačený smerom do stredu zorného poľa predného okna. Astronóm pozorujúci zadným okienkom vidí iba vesmír, z ktorého loď priletela. Foto B. Medzi horizontom udalostí a singularitou. Astronóm, ktorý spadne pod horizont udalostí, môže vidieť iný vesmír. Svetlo prichádzajúce z oblasti iného vesmíru vypĺňa centrálnu časť jeho zorného poľa. Foto G. Priamo nad singularitou. Keď sa astronómovia približujú k singularite, cez priečelné okno sa čoraz viac zviditeľňuje ďalší vesmír. Obraz samotnej čiernej diery (ktorá vyzerá ako prsteň) sa stáva tenšou a tenšou a rýchlo sa približuje k okraju zorného poľa predného okna.

Aj keď sa podľa vzdialených pozorovateľov pád kozmickej lode spomalí až úplne zastaví na horizonte udalostí, astronómovia na sám nič také si na vesmírnej lodi nevšimnú. Podľa ich názoru sa rýchlosť lode neustále zvyšuje a pri prekročení horizontu udalostí dosahuje citeľný zlomok rýchlosti svetla. To je významné z toho dôvodu, že ako výsledok padajúci astronómovia pozorujú fenomén aberácie hviezdneho svetla, veľmi podobný tomu, o ktorom sme hovorili v kapitole. 3 (pozri obr. 3.9, 3.11). Pamätajte, že keď sa pohybujete rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla, všimnete si vážne skreslenie na oblohe. Najmä obrazy nebeských telies sa zdajú byť zhromaždené pred pohybujúcim sa pozorovateľom. V dôsledku tohto efektu sa obraz čiernej diery sústredí bližšie k stredu predného okna padajúcej kozmickej lode.

Obrázok pozorovaný padajúcimi astronómami z horizontu udalostí je na obr. 9,21, B. Tento a nasledujúce údaje sú založené na výpočtoch, ktoré vykonal Cunningham na California Institute of Technology v roku 1975. Ak by astronómovia boli v pokoji, obraz čiernej diery by zaberal celé zorné pole predného okna (obr. 8.15, D). Ale keďže sa pohybujú vysokou rýchlosťou, obraz je sústredený v strede predného okna. Jeho uhlový priemer je približne 80º. Pohľad na oblohu vedľa čiernej diery je veľmi skreslený a astronóm pozorujúci cez zadné okno vidí iba vesmír, z ktorého prišli.

Aby ste pochopili, čo bude viditeľné, keď bude loď vnútri horizontu udalostí, vráťme sa k Penrosovmu diagramu Schwarzschildovej čiernej diery (pozri obr. 9.18 alebo 9.20). Pripomeňme si, že svetelné lúče smerujúce do čiernej diery majú v tomto diagrame sklon 45°. Preto, keď sa astronómovia dostanú pod horizont udalostí, budú môcť vidieť iný vesmír. Lúče svetla zo vzdialených častí iného Vesmíru (t.j. z jeho nekonečna na ľavej strane Penrosovho diagramu) sa teraz môžu dostať k astronómom. Ako je znázornené na obr. 9,21, IN, v strede zorného poľa predného okna kozmickej lode, nachádzajúceho sa medzi horizontom udalostí a singularitou, je viditeľný ďalší vesmír. Čierna časť diery je teraz znázornená ako prstene, oddelenie obrazu nášho Vesmíru od obrazu iného Vesmíru. Keď sa padajúci pozorovatelia približujú k singularite, čierny prstenec sa stenčuje a pritláča sa bližšie k samotnému okraju zorného poľa predného okienka. Pohľad na oblohu z bodu priamo nad singularitou je znázornený na obr. 9,21, G. Cez predné okno sa druhý Vesmír stáva čoraz lepšie viditeľným a práve pri singularite jeho pohľad úplne vypĺňa zorné pole predného okna. Astronóm, ktorý vykonáva pozorovania cez zadné okno, vidí počas celého letu iba náš vonkajší vesmír, hoci jeho obraz je čoraz viac skreslený.

Padajúci astronómovia si všimnú ďalší dôležitý efekt, ktorý sa neodráža v „snímkach“ 9.21, A-G. Pripomeňme si, že svetlo opúšťajúce okolie horizontu udalostí do vzdialeného Vesmíru prechádza silným červeným posunom. Tento jav sa nazýva gravitačný červený posun, sme diskutovali v kap. 5 a 8. Červený posun svetla prichádzajúci z oblasti so silným gravitačným poľom zodpovedá jeho strate energie. Naopak, keď svetlo „padne“ na čiernu dieru, zažije fialový posun a získava energiu. Slabé rádiové vlny prichádzajúce zo vzdialeného vesmíru sa transformujú napríklad na silné röntgenové alebo gama lúče priamo nad horizontom udalostí. Ak je to opísané pomocou Penroseových diagramov typu znázorneného na obr. 9,18 čiernych dier naozaj existujú v prírode, potom sa svetlo dopadajúce na ne z , hromadí v priebehu miliárd rokov blízko horizontu udalostí. Toto dopadajúce svetlo získava obrovskú energiu, a keď astronómovia zostúpia pod horizont udalostí, privíta ich nečakaný ostrý záblesk röntgenových a gama lúčov. To svetlo, ktoré prichádza z regiónu - Schwarzschildovo riešenie - Kerrovo riešenie - biela diera - singularita

Pozri tiež: Všetky publikácie na rovnakú tému >>

Výrazy pre tenzorové zložky a cez funkcie v a A sú nasledovné

Len výraz pre komponent je ťažkopádny, ale stáva sa, že jeho presné vyjadrenie je len zriedka potrebné použiť.

Dôležité je, že divergencia tohto tenzora sa musí rovnať nule. Ak máme výraz pre iné komponenty, potom požiadavka na zmiznutie divergencie často pomáha vyhnúť sa používaniu presného výrazu pre .

V tomto bode môžu byť navrhnuté nasledujúce cvičenia.

1) Dokážte, že ak vo vnútri gule s polomerom b nie je žiadna hmota a rozloženie hmoty mimo tejto gule je sféricky symetrické, potom je priestor vo vnútri gule plochý s metrikou .

2) Dokážte, že ak je tenzor energie-hybnosti známy všade vo vnútri sféry polomeru, potom nech je to čokoľvek mimo tejto sféry, neovplyvní to fyziku vo vnútri sféry polomeru (predpokladá sa, že mimo tejto sféry bude energia-hybnosť tenzor je charakterizovaný sféricky symetrickým rozložením.)

Riešenie mimo sféricky symetrického rozdelenia hmoty získame, ak vyriešime výsledné diferenciálne rovnice.

Začneme poznámkou, že závisí len od A. Keďže sa rovná nule, dostaneme

Faktor 2 sa používa pre pohodlie, takže konštanta je celková hmotnosť hviezdy vynásobená Newtonovou gravitačnou konštantou. Ak vnútri gule s polomerom, kde sa nachádza všetka hmotnosť, nie sú žiadne singularity, potom sa konštanta musí rovnať

(11.3.3)

Sme presvedčení, že neexistuje žiadna časová závislosť, pretože

takže A vôbec nezávisí od času. Poslednou úlohou je získať výraz pre . Robíme to rovnítkom, pretože obe tieto veličiny sú rovné nule. Odtiaľto prichádzame k záveru, že

Čo sa môže stať iba vtedy, ak má funkcia v nasledujúci tvar:

(11.3.5)

kde je ľubovoľná funkcia času. Keďže sa však funkcia v objavuje v koeficiente magnitúdy v metrike takto:

násobiteľ môžeme odstrániť zmenou mierky časovej súradnice. Ostatné prvky metrického tenzora sa takouto náhradou nemenia, pretože je v nich zahrnutá iba funkcia. Získaný výsledok je známy ako Schwarzschildova metrika

Zaujímavé je, že výsledná metrika nezávisí od času, aj keď sme nikdy nepovedali, že hľadáme statické riešenie. Absencia časovej závislosti Schwarzschildovej metriky vyplýva z predpokladu sférickej symetrie a skutočnosti, že metriku uvažujeme v oblasti s nulovou tlakovou hustotou.

V prípade skutočnej hviezdy, ako je Slnko, neexistuje presná sférická symetria, pretože existuje rotácia a zhrubnutie () na rovníku. Tieto rozdiely však spôsobujú mierne odchýlky od prípadu sférickej symetrie. Ak dôjde k svetelnému toku z hviezdy, objavia sa ďalšie korekcie, pretože hustota energie sa v priestore mimo hviezdy nebude rovnať nule. Schwarzschildovo riešenie však pomerne presne popisuje situáciu so Slnkom, takže precesia perihélia Merkúra je daná správne v medziach chýb merania.

Pozri tiež: Portál: Fyzika

Schwarzschildova metrika- toto je jediné sféricky symetrické presné riešenie Einsteinových rovníc bez kozmologickej konštanty v prázdnom priestore vďaka Birkhoffovej vete. Najmä táto metrika celkom presne popisuje gravitačné pole osamelej nerotujúcej a nenabitej čiernej diery a gravitačné pole mimo osamoteného sféricky symetrického masívneho telesa. Pomenovaný po Karlovi Schwarzschildovi, ktorý ho objavil ako prvý.

Toto riešenie je nevyhnutne statické, takže sférické gravitačné vlny sú nemožné.

Metrický typ

Schwarzschildove súradnice

V takzvaných Schwarzschildových súradniciach, z ktorých posledné 3 sú analogické sférickým, sa nachádza metrický tenzor fyzikálne najdôležitejšej časti Schwarzschildovho časopriestoru s topológiou (súčin oblasti dvojrozmerného euklidovského priestoru a dvoch -rozmerná guľa) má tvar

Súradnica nie je dĺžka vektora polomeru, ale je zavedená tak, aby sa plocha gule v danej metrike rovnala . V tomto prípade je „vzdialenosť“ medzi dvoma udalosťami s rôznymi (ale identickými inými súradnicami) daná integrálom

Kedy alebo Schwarzschildova metrika inklinuje (zložkovo) k Minkowského metrike v sférických súradniciach, takže ďaleko od masívneho telesa sa časopriestor ukazuje ako približne pseudoeuklidovský. Keďže v a monotónne sa zvyšuje s rastúcim , správny čas v bodoch v blízkosti tela „plynie pomalšie“ ako ďaleko od neho, to znamená, že gravitačná dilatácia času masívne telá.

Diferenciálne charakteristiky

Označme

Potom majú tvar nenulové nezávislé Christoffelove symboly

Tenzor zakrivenia je typu Petrov.

Hromadný defekt

Ak existuje sféricky symetrické rozloženie hmoty „polomeru“ (v zmysle súradníc), potom možno celkovú hmotnosť telesa vyjadriť pomocou jeho tenzora energie a hybnosti pomocou vzorca

Najmä pre statické rozloženie hmoty, kde je hustota energie v priestore. Vzhľadom na to, že objem guľovej vrstvy v nami zvolených súradniciach je rovný

dostaneme to

Tento rozdiel vyjadruje gravitačný defekt telesnej hmotnosti. Môžeme povedať, že časť celkovej energie systému je obsiahnutá v energii gravitačného poľa, aj keď nie je možné túto energiu lokalizovať v priestore.

Funkcia v metrike

Metrika na prvý pohľad obsahuje dve funkcie: at a at . V Schwarzschildových súradniciach bude častica dopadajúca na teleso skutočne potrebovať nekonečne dlhý čas, kým dosiahne povrch, ale prechod napríklad na Lemaître súradnice v sprievodnom referenčnom rámci ukazuje, že z pohľadu padajúceho pozorovateľa tam nie je žiadnym znakom časopriestoru na tomto povrchu a samotný povrch aj oblasť sa dosiahnu v konečnom správnom čase.

Skutočná črta Schwarzschildovej metriky je pozorovaná iba pri , kde skalárne invarianty tenzora zakrivenia majú tendenciu k nekonečnu. Túto vlastnosť (singularitu) nemožno odstrániť zmenou súradnicového systému.

Horizont udalostí

Povrch je tzv Horizont udalostí. Lepším výberom súradníc, ako sú súradnice Lemaître alebo Kruskal, možno ukázať, že žiadne signály nemôžu opustiť čiernu dieru cez horizont udalostí. V tomto zmysle nie je prekvapujúce, že pole mimo Schwarzschildovej čiernej diery závisí len od jedného parametra – od celkovej hmotnosti telesa.

Kruskalove súradnice

Môžete sa pokúsiť zaviesť súradnice, ktoré nedávajú singularitu v . Takýchto súradnicových systémov je známych veľa a najbežnejší z nich je Kruskalov súradnicový systém, ktorý jednou mapou pokrýva celú maximálne rozšírenú varietu, ktorá spĺňa Einsteinove rovnice vákua (bez kozmologickej konštanty). Toto viac priestoročas sa zvyčajne nazýva (maximálne rozšírený) Schwarzschildov priestor alebo (menej často) Kruskalov priestor. Metrika v Kruskalových súradniciach má tvar

kde , a funkcia je definovaná (implicitne) rovnicou .

Ryža. 1. Časť Schwarzschildovho priestoru. Každý bod na obrázku zodpovedá gule s plochou . Svetlu podobné geodetiky (čiže svetové čiary fotónov) sú priame čiary pod uhlom k vertikále, inými slovami, sú to priame, resp.

Priestor maximálne, to znamená, že už nemôže byť izometricky vsadená do väčšieho časopriestoru a oblasť v Schwarzschildových súradniciach () je len časťou (táto oblasť je na obrázku oblasť I). Teleso pohybujúce sa pomalšie ako svetlo - svetočiara takéhoto telesa bude krivka s uhlom sklonu k vertikále menším ako , pozri krivku na obrázku - môže odísť. V tomto prípade spadá do regiónu II, kde . Ako vidno z obrázku, už nebude môcť opustiť túto oblasť a vrátiť sa do nej (na to by sa musela odchýliť viac ako od vertikály, teda prekročiť rýchlosť svetla). Región II je teda čierna diera. Jeho hranica (prerušovaná čiara, ) je teda horizontom udalostí.

Existuje ďalšia asymptoticky plochá oblasť III, do ktorej možno zaviesť aj Schwarzschildove súradnice. Tento región však nie je kauzálne spojený s regiónom I, čo nám neumožňuje získať o ňom žiadne informácie, zostáva mimo horizontu udalostí. V prípade skutočného kolapsu astronomického objektu jednoducho nevzniknú oblasti IV a III, pretože ľavá strana prezentovaného diagramu musí byť nahradená neprázdnym časopriestorom vyplneným kolabujúcou hmotou.

Všimnime si niekoľko pozoruhodných vlastností maximálne rozšíreného Schwarzschildovho priestoru:

Orbitálny pohyb

Hlavný článok: Keplerov problém vo všeobecnej teórii relativity

História získavania a interpretácie

Schwarzschildova metrika, hoci pôsobí ako objekt výrazného teoretického záujmu, je aj akousi pomôckou pre teoretikov, zdanlivo jednoduchou, no napriek tomu okamžite vedúcou k zložitým otázkam.

V polovici roku 1915 Einstein publikoval predbežné rovnice pre teóriu gravitácie. Toto ešte neboli Einsteinove rovnice, ale už sa zhodovali s poslednými v prípade vákua. Schwarzschild integroval sféricky symetrické rovnice pre vákuum v období od 18. novembra 1915 do konca roka. januára 1916 mu Einstein, ktorého Schwarzschild oslovil ohľadom uverejnenia jeho článku v Berliner Berichte, napísal, že „čítal jeho dielo s veľkou vášňou“ a bol „ohromený, že skutočným riešením tohto problému by mohlo byť vyjadrené tak ľahko“ – Einstein spočiatku pochyboval, či je vôbec možné získať riešenie tak zložitých rovníc.

Schwarzschild dokončil svoju prácu v marci a tiež získal sféricky symetrické statické vnútorné riešenie pre tekutinu s konštantnou hustotou. V tomto čase ho postihla choroba (pemfigus), ktorá ho v máji priviedla do hrobu. Od mája 1916 I. Droste, študent G. A. Lorentza, vykonávajúci výskum v rámci Einsteinových rovníc konečného poľa, získal riešenie rovnakého problému pomocou jednoduchšej metódy ako Schwarzschild. Urobil tiež prvý pokus analyzovať divergenciu riešenia pri inklinovaní k Schwarzschildovej sfére.

Po Droste sa väčšina výskumníkov začala uspokojovať s rôznymi úvahami, ktorých cieľom bolo dokázať nepreniknuteľnosť Schwarzschildovej sféry. Teoretické úvahy boli zároveň podporené fyzikálnym argumentom, podľa ktorého „toto v prírode neexistuje“, keďže neexistujú telesá, atómy alebo hviezdy, ktorých polomer by bol menší ako Schwarzschildov polomer.

Pre K. Lanczosa, ako aj pre D. Gilberta sa Schwarzschildova sféra stala dôvodom na zamyslenie sa nad konceptom „singularity“, pre P. Painlevého a francúzsku školu bola predmetom polemiky, do ktorej sa zapojil Einstein .

Počas parížskeho kolokvia v roku 1922 organizovaného v súvislosti s Einsteinovou návštevou diskutovali nielen o myšlienke, že Schwarzschildov polomer nebude singulárny, ale aj o hypotéze predvídajúcej to, čo sa dnes nazýva gravitačný kolaps.

Schwarzschildov zručný vývoj bol len relatívnym úspechom. Ani jeho metóda, ani jeho interpretácia neboli prijaté. Z jeho práce sa nezachovalo takmer nič okrem „holého“ výsledku metriky, s ktorou sa spájalo meno jej tvorcu. Ale otázky interpretácie a predovšetkým otázka „schwarzschildskej singularity“ neboli vyriešené. Začalo sa kryštalizovať uhol pohľadu, že na tejto singularite nezáleží. K tomuto pohľadu viedli dve cesty: na jednej strane teoretická, podľa ktorej je „schwarzschildovská singularita“ nepreniknuteľná, a na druhej strane empirická, spočívajúca v tom, že „toto v prírode neexistuje“. Tento názor sa rozšíril a stal sa dominantným v celej vtedajšej odbornej literatúre.

Ďalšia etapa je spojená s intenzívnym výskumom problematiky gravitácie na začiatku „zlatého veku“ teórie relativity.

Literatúra

• K. SchwarzschildÜber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie // Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1. - 1916. - 189-196.
  Rus. preklad: Schwarzschild K. O gravitačnom poli bodovej hmoty v Einsteinovej teórii // Albert Einstein a teória gravitácie. M.: Mir, 1979. s. 199-207.
• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Teória poľa. - 7. vydanie, prepracované. - M.: Nauka, 1988. - 512 s. - („Teoretická fyzika“, zväzok II). - ISBN 5-02-014420-7
• Drost J. Het van een enkel centrum in Einstein s theorie der zwaartekracht en de beweging van een stoffelijk punt in dat veld // Versl. gev Vergad. Akad. Amsterdam. - 1916. - D.25. - Biz.163-180.
- časopriestor mimo masívneho nerotujúceho telesa vo vákuu (Ricciho tenzor Rik = 0). Prvok dĺžky ds je určený výrazom kde r, q, f sú sférické súradnice so stredom v strede masívneho telesa, M je hmotnosť telesa. Toto je riešenie Einsteinových rovníc...... Fyzická encyklopédia

Metrika časopriestoru- (pozri Metrika, Časopriestor) základný zákon, ktorý určuje geometrické vlastnosti štvorrozmerného priestoru času Minkowského, Riemanna, Schwarzschilda atď. Táto metrika hrá zásadnú úlohu pri formulácii fyzikálnych zákonov... Počiatky moderných prírodných vied

Metrický tenzor alebo metrika je symetrický tenzor 2. stupňa na hladkej variete, cez ktorý sa určuje skalárny súčin vektorov v dotyčnicovom priestore, dĺžky kriviek, uhly medzi krivkami atď.. V konkrétnom prípade... ... Wikipedia

Gravitačný polomer (alebo Schwarzschildov polomer) vo Všeobecnej teórii relativity (GTR) je charakteristický polomer definovaný pre akékoľvek fyzické telo s hmotnosťou: toto je polomer gule, na ktorej by sa nachádzal horizont udalostí... ... Wikipedia

Toto je metrika, ktorá definuje statické izotropné gravitačné pole. Špeciálnym prípadom tejto metriky je Schwarzschildova metrika pre prípad prázdneho (nevyplneného) časového priestoru. Obsah 1 Definícia ... Wikipedia

Všeobecná teória relativity Matematická formulácia všeobecnej teórie relativity Kozmológia Základné myšlienky Špeciálna teória relativity ... Wikipedia

Riešenie Einsteinových rovníc popisujúcich vonkajšie gravitačné pole rotujúceho zdroja s hmotnosťou a momentom hybnosti L. Patrí do typu D podľa klasifikácie A.Z.Petrova. Najjednoduchšie sa píše vo forme Kerr Schildovej metriky: kde K m... ... Matematická encyklopédia

Pozadiepublikácií

25. novembra 1915 Albert Einstein, profesor na univerzite v Berlíne, predložil Kráľovskej pruskej akadémii vied písomnú správu obsahujúcu systém úplne kovariantných (pri zmene súradnicového systému nemeniacich formu) rovníc relativistickej teórie tzv. gravitačné pole, tiež známe ako Všeobecná teória relativity (GR).

Týždeň predtým mal Einstein prednášku na stretnutí Akadémie, kde demonštroval staršiu a stále neúplnú verziu týchto rovníc, ktoré nemali úplnú kovarianciu. Tieto rovnice však už Einsteinovi poskytli možnosť pomocou metódy postupných aproximácií správne vypočítať anomálnu rotáciu dráhy Merkúra a predpovedať veľkosť uhlovej odchýlky svetla hviezd v gravitačnom poli Slnka. Karl Schwarzschild Tento prejav si našiel vďačného poslucháča – Karla Schwarzschilda, Einsteinovho kolegu na akadémii. Slúžil ako poručík delostrelectva v aktívnej armáde Nemeckej ríše a práve vtedy prišiel na dovolenku. V decembri, po návrate na front, Schwarzschild našiel presné riešenie prvej verzie Einsteinových rovníc, ktoré prostredníctvom neho zverejnil v „Reports on the Meetings“ ( Sitzungsberichte) akadémie. Vo februári, keď sa už zoznámil s konečnou verziou všeobecných rovníc relativity, poslal Schwarzschild Einsteinovi druhý článok, v ktorom sa prvýkrát objavuje gravitačný, tiež známy ako Schwarzschild, polomer. V modernej interpretácii ide o polomer horizontu čiernej diery, spod ktorého je prenos signálu smerom von nemožný. 24. februára, keď Einstein poslal toto dielo do tlače, bitka pri Verdune trvala už tri dni.

Veda A vojna

Karl Schwarzschild (1873–1916) bol nielen geniálny, ale aj všestranný vedec. Zanechal hlbokú stopu v pozorovacej astronómii, bol jedným z priekopníkov vybavovania ďalekohľadov fotografickým zariadením a jeho využívania na fotometrické účely. Vlastní hlboké a originálne diela v oblasti elektrodynamiky, hviezdnej astronómie, astrofyziky a optiky. Schwarzschildovi sa dokonca podarilo výrazne prispieť ku kvantovej mechanike atómových obalov, keď vo svojej poslednej vedeckej práci vybudoval teóriu Starkovho efektu – premiestňovania a štiepenia atómových hladín v elektrickom poli. V roku 1900, pätnásť rokov pred vytvorením Všeobecnej relativity, nielenže vážne uvažoval o paradoxnej možnosti, že geometria vesmíru sa líši od euklidovskej (to priznal Lobačevskij), ale odhadol aj spodné hranice polomeru zakrivenia priestoru pre sférické a pseudosférická geometria priestoru. Pred dosiahnutím tridsiatich rokov sa stal profesorom na univerzite v Göttingene a riaditeľom univerzitného observatória, v roku 1909 bol zvolený za člena Kráľovskej astronomickej spoločnosti v Londýne a viedol Postupimské astrofyzikálne observatórium a o štyri roky neskôr sa stal riadnym členom Pruskej akadémie vied. Správa o smrti nemeckého vojaka, ktorý padol pri Verdune Schwarzschildovu útlu vedeckú kariéru prerušila prvá svetová vojna. Pre svoj vek sa naňho nevzťahovala branná povinnosť, dobrovoľne sa však prihlásil do armády a nakoniec skončil na ruskom fronte na veliteľstve delostreleckej jednotky, kde sa podieľal na výpočte dráh projektilov diaľkových zbraní. Tam sa stal obeťou pemfigu alebo pemfigu, veľmi ťažkého autoimunitného kožného ochorenia, ku ktorému mal dedičný sklon. Táto patológia je v našej dobe ťažko liečiteľná a potom bola úplne nevyliečiteľná.

V marci 1916 bol Schwarzschild poverený a vrátil sa do Postupimu, kde 11. mája zomrel. Bol jedným z najvýznamnejších fyzikov, ktorých životy si vyžiadala prvá svetová vojna. Môžete si spomenúť aj na Henryho Moseleyho, jedného zo zakladateľov röntgenovej spektroskopie. Slúžil ako styčný dôstojník a zomrel vo veku 27 rokov počas operácie Dardanely 10. augusta 1915.

Schwarzschildova metrika

Slávna Schwarzschildova časopriestorová metrika (alebo štvortensor) sa historicky stala prvým presným riešením všeobecných rovníc relativity. Popisuje statické gravitačné pole, ktoré vo vákuu vytvára stacionárne sféricky symetrické teleso s hmotnosťou M. V štandardnom zápise v Schwarzschildových súradniciach má t, r, θ, φ dva singulárne body (vo formálnom jazyku - singularity), blízko ktorý jeden z prvkov metriky smeruje k nule a druhý k nekonečnu. Jedna zo singularít vzniká pri r = 0, teda na rovnakom mieste, kde sa newtonovský gravitačný potenciál mení do nekonečna. Druhá singularita zodpovedá hodnote r = 2GM/c 2, kde G je gravitačná konštanta, M je gravitačná hmotnosť a c je rýchlosť svetla. Tento parameter sa zvyčajne označuje r s a nazýva sa Schwarzschildov polomer alebo gravitačný polomer. To je už nenewtonovská singularita, vyplývajúca z rovníc všeobecnej relativity, nad významom ktorej sa trápilo niekoľko generácií fyzikov. Gravitačný polomer telesa s hmotnosťou Slnka je približne 3 km. Ako je známe, tento parameter hrá kľúčovú úlohu v teórii čiernych dier.

Stojí za to pripomenúť, že Schwarzschildove uhlové súradnice θ a φ sú úplne analogické s polárnymi a azimutálnymi uhlami v bežných sférických súradniciach, avšak hodnota radiálnej súradnice r sa v žiadnom prípade nerovná dĺžke vektora polomeru. V Schwarzschildovej metrike je dĺžka kruhu so stredom v počiatku vyjadrená euklidovským vzorcom 2πr, ale vzdialenosť medzi dvoma bodmi s polomermi r 1 a r 2 umiestnenými na rovnakom vektore polomeru vždy presahuje aritmetický rozdiel r 2 -r 1. Z toho je hneď jasné, že Schwarzschildov priestor je neeuklidovský – pomer obvodu kruhu k dĺžke jeho polomeru je menší ako 2π.

najprv MostKomu čierna diery

Teraz prichádza zábavná časť. Schwarzschildova metrika, ako je uvedená vyššie, v oboch jeho článkoch úplne chýba. Prvá z jeho publikácií „O gravitačnom poli bodovej hmoty vyplývajúcej z Einsteinovej teórie“ predstavuje časopriestorovú metriku zodpovedajúcu gravitačnému poľu bodovej hmoty, ktorá vôbec nie je ekvivalentná štandardnej metrike, hoci je povrchne podobný. V metrike, ktorú napísal sám Schwarzschild, má radiálna súradnica spodnú kladnú hranicu, takže v nej nie je singularita newtonovského typu. Zostáva len singularita, ktorá vzniká, keď polomer nadobudne minimálnu hodnotu, ktorá sa javí ako integračná konštanta. Pre túto konštantu v Schwarzschildovom článku neexistuje ani vzorec, ani číselný odhad, iba označenie α. Neformálny význam tejto singularity je, že ťažisko bodu je obklopené guľou s polomerom α a na tejto guľovej ploche sa deje niečo zvláštne a nepochopiteľné. Schwarzschild nezachádza do detailov.

Karl Schwarzschild získal svoju metriku ako výsledok riešenia Einsteinových rovníc v ich prvej verzii, ktorú prečítal 18. novembra. Na jeho základe potvrdil Einsteinom vypočítanú veľkosť anomálnej rotácie orbity Merkúra. Odvodil tiež relativistickú analógiu tretieho Keplerovho zákona - ale len pre kruhové dráhy. Konkrétne ukázal, že druhá mocnina uhlovej rýchlosti testovacích telies obiehajúcich po takýchto dráhach okolo centrálneho bodu je daná jednoduchým vzorcom n 2 = α/2R 3 (písmeno n Schwarzschild označuje uhlovú rýchlosť; R je radiálna súradnica ). Pretože R nemôže byť menšie ako α, uhlová rýchlosť má hornú hranicu n 0 = 1/(√2α).

Dovoľte mi pripomenúť, že v newtonovskej mechanike môže byť uhlová rýchlosť telies otáčajúcich sa okolo hmotného bodu ľubovoľne veľká, takže špecifickosť všeobecnej teórie relativity je tu jasne viditeľná.

Vzorec pre n 0 vyzerá nezvyčajne kvôli jeho rozmeru. Je to spôsobené tým, že Schwarzschild považuje rýchlosť svetla za jednotu. Ak chcete získať uhlovú rýchlosť s obvyklým rozmerom 1/s, musíte vynásobiť pravú stranu vzorca pre n 0 rýchlosťou svetla c.

Schwarzschild si vrchol nechal na záver. Na konci článku poznamenal, že ak sa hodnota hmotnosti bodu v počiatku rovná hmotnosti Slnka, potom je maximálna frekvencia rotácie približne 10 000 otáčok za sekundu. Z toho okamžite vyplýva, že α = 10 -4 s/2π√2. Pretože c = 3×10 5 km/s, parameter α sa rovná približne 3 km, teda gravitačnému polomeru Slnka! Bez toho, aby sa v Schwarzschildovom článku výslovne objavilo, toto číslo vstúpilo zadnými vrátkami a bez akéhokoľvek zdôvodnenia (Schwarzschild neuviedol, ako získal číselnú hodnotu hraničnej frekvencie). Vo všeobecnosti už prvý Schwarzschildov článok predstavuje veľmi tenký most k teórii čiernych dier, hoci to nie je také ľahké odhaliť. Keď som si to všimol, bol som celkom prekvapený, pretože sa všeobecne uznáva, že gravitačný polomer sa objavuje iba v druhom Schwarzschildovom článku.

Po druhé MostKomu čierna diery

Schwarzschildova druhá práca má názov "O gravitačnom poli gule naplnenej nestlačiteľnou tekutinou, vypočítané v súlade s Einsteinovou teóriou." V ňom (pripomínam, že už na základe úplného systému všeobecných rovníc relativity) sa počítajú dve metriky: pre vonkajší priestor a pre priestor vo vnútri gule. Na konci tohto článku sa prvýkrát objavuje gravitačný polomer 2GM/s 2, len vyjadrený v iných jednotkách a nie je konkrétne pomenovaný. Ako poznamenáva Schwarzschild, v prípade telesa s hmotnosťou Slnka sa rovná 3 km a pre hmotnosť 1 g sa rovná 1,5 × 10 -28 cm.

Tieto čísla však nie sú najzaujímavejšie. Schwarzschild tiež upozorňuje, že polomer guľového telesa, meraný vonkajším pozorovateľom, nemôže byť menší ako jeho gravitačný polomer. Z toho vyplýva, že hmota bodu, o ktorej sa hovorilo v prvom Schwarzschildovom článku, sa zvonku javí ako guľa. Fyzicky je to spôsobené tým, že žiadny svetelný lúč sa nemôže priblížiť k tejto hmote bližšie ako je jej gravitačný polomer a potom sa vrátiť k vonkajšiemu pozorovateľovi. Schwarzschildov článok tieto tvrdenia neobsahuje, ale vyplývajú priamo z jeho logiky. Ide o druhý most ku konceptu čiernych dier, ktorý nájdeme u samotného Schwarzschilda.

Epilóg

Po Schwarzschildovi študovali čisto matematici, fyzici a kozmológovia sféricky symetrické riešenia všeobecných rovníc relativity. Na jar roku 1916 Holanďan Johannes Droste, ktorý dokončoval doktorandskú dizertačnú prácu na univerzite v Leidene pod vedením Hendrika Lorenza, predložil svojmu šéfovi na publikovanie prácu, v ktorej vypočítal časopriestorovú metriku pre hmotnosť bodu. jednoduchšie ako Schwarzschild (Droste sa ešte nedozvedel o jeho výsledkoch). Bol to Droste, kto prvýkrát zverejnil verziu metriky, ktorá sa neskôr stala štandardnou.

Pri následnom zdokonaľovaní Schwarzschildovho riešenia bol tiež objavený úplne iný charakter singularít: jednu, vznikajúcu v štandardnej forme metriky na r = rs, ako sa ukázalo, možno eliminovať nahradením súradníc, druhú, vznikajúcu pri r = 0, sa ukázalo ako neodstrániteľné a fyzikálne zodpovedá nekonečnu gravitačného poľa .

To všetko je veľmi zaujímavé, ale úplne mimo rámca môjho článku. Stačí povedať, že matematická teória čiernych dier je už dlho dobre rozvinutá a veľmi krásna – a všetko historicky siaha až k Schwarzschildovmu riešeniu. Čo sa týka fyzikálnej reality čiernych dier vyplývajúcich z kolapsu najhmotnejších hviezd, astronómovia v ňu začali veriť až začiatkom 60. rokov, po objavení prvých kvazarov. Ale to je úplne iný príbeh.

1. Schwarzschild K. Zur Quantenhypothese / Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. I (1916). S. 548-568.

2. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Fyzikálna matematika Klasse 1916. S. 189−196.

3. Schwarzschild K. Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie / Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Fyzikálna matematika Trieda. 1916. S. 424−434.

4. Droste J. Pole jediného centra v EINSTEINovej teórii gravitácie a pohyb častice v tomto poli. Proc. K.Ned. Akad. Mokrý. Ser. A 19.197 (1917).