3 különböző mértékben. Hatvány- vagy exponenciális egyenletek
Látogasson el weboldalunk youtube csatornájára, hogy naprakész legyen az új videóleckékről.
Először is emlékezzünk a hatványok alapvető képleteire és tulajdonságaikra.
Egy szám szorzata a n-szer fordul elő önmagán, ezt a kifejezést a a … a=a n alakban írhatjuk fel
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Hatvány- vagy exponenciális egyenletek– ezek olyan egyenletek, amelyekben a változók hatványban (vagy kitevőben) vannak, és az alap egy szám.
Példák exponenciális egyenletekre:
Ebben a példában a 6-os szám az alap; mindig alul van, és a változó x fok vagy mutató.
Adjunk még példákat az exponenciális egyenletekre.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0
Most nézzük meg, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket?
Vegyünk egy egyszerű egyenletet:
2 x = 2 3
Ezt a példát még fejben is meg lehet oldani. Látható, hogy x=3. Végül is, ahhoz, hogy a bal és a jobb oldal egyenlő legyen, x helyett 3-as számot kell tennie.
Most pedig nézzük meg, hogyan formalizáljuk ezt a döntést:
2 x = 2 3
x = 3
Egy ilyen egyenlet megoldása érdekében eltávolítottuk azonos indokok(vagyis kettesek) és felírta, ami maradt, ezek fokozatok. Megkaptuk a választ, amit kerestünk.
Most pedig foglaljuk össze döntésünket.
Algoritmus az exponenciális egyenlet megoldására:
1. Ellenőrizni kell ugyanaz hogy az egyenletnek van-e alapja a jobb és a bal oldalon. Ha az okok nem ugyanazok, akkor keressük a megoldási lehetőségeket ennek a példának a megoldására.
2. Miután az alapok azonosak lettek, egyenlővé tenni fokot, és oldja meg a kapott új egyenletet.
Most nézzünk néhány példát:
Kezdjük valami egyszerűvel.
A bal és a jobb oldalon lévő alapok egyenlőek a 2-es számmal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk az alapot, és egyenlővé tehetjük a hatalmukat.
x+2=4 A legegyszerűbb egyenletet kapjuk.
x=4 – 2
x=2
Válasz: x=2
A következő példában láthatja, hogy az alapok különböznek: 3 és 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Először mozgassuk a kilencet jobb oldalra, így kapjuk:
Most ugyanazokat az alapokat kell elkészítenie. Tudjuk, hogy 9=3 2. Használjuk az (a n) m = a nm hatványképletet.
3 3x = (3 2) x+8
9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16-ot kapunk
3 3x = 3 2x+16 Most már világos, hogy a bal és a jobb oldalon az alapok azonosak, és egyenlők hárommal, ami azt jelenti, hogy eldobhatjuk őket, és egyenlővé tesszük a fokokat.
3x=2x+16 a legegyszerűbb egyenletet kapjuk
3x - 2x=16
x=16
Válasz: x=16.
Nézzük a következő példát:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Először is nézzük meg az alapokat, a második és a negyedik alapot. És szükségünk van arra, hogy egyformák legyenek. A négyet az (a n) m = a nm képlettel alakítjuk át.
4 x = (2 2) x = 2 2x
És egy képletet is használunk: a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adjuk hozzá az egyenlethez:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Ugyanezen okokból adtunk példát. De a többi 10-es és 24-es szám zavar minket.Mit kezdjünk velük? Ha alaposan megnézed, láthatod, hogy a bal oldalon 2 2x ismétlődik, itt a válasz - 2 2x-et tehetünk zárójelbe:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Számítsuk ki a zárójelben lévő kifejezést:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
A teljes egyenletet elosztjuk 6-tal:
Képzeljük el, hogy 4=2 2:
2 2x = 2 2 alap azonos, ezeket elvetjük és a fokokat egyenlővé tesszük.
2x = 2 a legegyszerűbb egyenlet. Oszd el 2-vel és kapjuk
x = 1
Válasz: x = 1.
Oldjuk meg az egyenletet:
9 x – 12*3 x +27= 0
Alakítsuk át:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Kapjuk az egyenletet:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Az alapjaink azonosak, egyenlők hárommal.Ebben a példában láthatjuk, hogy az első háromnak kétszer (2x) a foka, mint a másodiknak (csak x). Ebben az esetben meg tudod oldani cseremódszer. A számot a legkisebb fokozatra cseréljük:
Ekkor 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Az egyenletben szereplő összes x hatványt t-re cseréljük:
t 2 - 12t+27 = 0
Másodfokú egyenletet kapunk. A diszkrimináns segítségével megoldva a következőket kapjuk:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Visszatérve a változóhoz x.
Vegyük a t 1-et:
t 1 = 9 = 3 x
vagyis
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Egy gyökér található. A másodikat keressük a t 2-ből:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Válasz: x 1 = 2; x 2 = 1.
A honlapon a SEGÍTSÉG DÖNTÉS rovatban feltehetitek kérdéseiteket, mi biztosan válaszolunk.
Csatlakozz a csoporthoz
Fokozatképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.
Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:
Műveletek fokozatokkal.
1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:
a m·a n = a m + n .
2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:
3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:
(a/b) n = a n /b n.
5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:
(a m) n = a m n .
Mindegyik fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.
Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Műveletek gyökerekkel.
1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:
2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó hányadával:
3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:
4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:
5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyszerre vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:
Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos, nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:
Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.
Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.
Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.
Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.
ALGEBRA REFERENCIA ANYAG A 7-11.
Kedves Szülők! Ha matematika tanárt keres gyermeke számára, akkor ez a hirdetés Önnek szól. Skype korrepetálást ajánlok: egységes államvizsgára, egységes államvizsgára felkészítés, tudáshiányok felszámolása. Az előnyei nyilvánvalóak:
1) Gyermeke otthon van, és nyugodt lehet vele kapcsolatban;
2) Az órákat a gyermek számára megfelelő időpontban tartják, és ezeken az órákon Ön is részt vehet. Egyszerűen és érthetően elmagyarázom a szokásos iskolatáblán.
3) A Skype órák további fontos előnyeire magad is gondolhatsz!
- Munka n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A hívott n-a szám hatványa Aés ki van jelölve An.
- Azt a műveletet, amellyel több egyenlő tényező szorzatát megtaláljuk, hatványozásnak nevezzük. A hatványra emelt számot a hatvány alapjának nevezzük. Kitevőnek nevezzük azt a számot, amely megmutatja, hogy a bázis milyen hatványra van emelve. Így, An- diploma, A- a végzettség alapja, n– kitevő.
- és 0 =1
- a 1 =a
- a m∙ a n= a m + n
- a m: a n= a m — n
- (a m) n= a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) n= a n/ b n Ha egy tört hatványra emel, a tört számlálója és nevezője is erre a hatványra emelkedik.
- (- n) hatványszám (n – természetes) szám A, nem egyenlő nullával, az inverz számot veszik figyelembe n-a szám hatványa A, azaz . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — n=(b/ a) n
- A természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai bármely kitevővel rendelkező fokokra is érvényesek.
A nagyon nagy és nagyon kicsi számokat általában szabványos formában írják le: a∙10 n, Ahol 1≤a<10 És n(természetes vagy egész szám) – a szabványos formában írt számok sorrendje.
- Azokat a kifejezéseket, amelyek számokból, változókból és ezek hatványaiból állnak a szorzás műveletével, monomiálisoknak nevezzük.
- Az ilyen típusú monomokat, amikor a numerikus tényező (együttható) áll az első helyen, majd a változók következnek a hatványaikkal, a monomiális standard típusnak nevezzük. A monomiális változók kitevőinek összegét a monom fokának nevezzük.
- Az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonló monomoknak nevezzük.
- A monomok összegét polinomnak nevezzük. A polinomot alkotó monomokat a polinom tagjainak nevezzük.
- A binomiális olyan polinom, amely két tagból (monómokból) áll.
- A trinom olyan polinom, amely három tagból (monomiálisból) áll.
- Egy polinom foka a legmagasabb foka az alkotó monomoknak.
- Egy szabványos polinom nem tartalmaz hasonló kifejezéseket, és a tagok fokozatai szerint csökkenő sorrendben írják le.
- Egy monomi polinommal való szorzásához meg kell szoroznia a polinom minden tagját ezzel a monommal, és össze kell adnia a kapott szorzatokat.
- Egy polinom két vagy több polinom szorzataként való ábrázolását a polinom faktorálásának nevezzük.
- A polinom faktorálásának legegyszerűbb módja, ha a közös tényezőt kivesszük a zárójelekből.
- Egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szoroznia egy polinom minden tagját egy másik polinom minden tagjával, és a kapott szorzatokat monomok összegeként kell felírnia. Ha szükséges, adjon hozzá hasonló kifejezéseket.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszeresével és a második kifejezés négyzetével.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Két kifejezés különbségének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével mínusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszerese plusz a második kifejezés négyzete.
- a 2-b 2 =(a-b)(a+b) Két kifejezés négyzeteinek különbsége egyenlő a kifejezések és azok összege közötti különbség szorzatával.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Két kifejezés összegének kocka egyenlő az első kifejezés kockájával, plusz az első kifejezés négyzetének szorzatával, a másodiké plusz hármasával az első kifejezés szorzatával és a második négyzetével, plusz a második kifejezés kockájával.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Két kifejezés különbségének kocka egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés szorzatának és a második négyzetének háromszorosával, mínusz a második kifejezés kockájának szorzatával.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Két kifejezés kockáinak összege egyenlő magának a kifejezésnek az összegének és a különbségük hiányos négyzetének szorzatával.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Két kifejezés kockáinak különbsége egyenlő a kifejezések közötti különbség és az összegük résznégyzetének szorzatával.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Három kifejezés összegének négyzete egyenlő e kifejezések négyzeteinek összegével, plusz maguknak a kifejezéseknek az összes lehetséges megduplázott páronkénti szorzatával.
- Referencia. Két kifejezés összegének tökéletes négyzete: a 2 + 2ab + b 2
Két kifejezés összegének részleges négyzete: a 2 + ab + b 2
Az űrlap funkciója y=x2 négyzetfüggvénynek nevezzük. Egy másodfokú függvény gráfja egy parabola, amelynek csúcsa az origóban van. Parabola ágak y=x² felfelé irányítva.
Az űrlap funkciója y=x 3 köbfüggvénynek nevezzük. Egy köbös függvény grafikonja az origón áthaladó köbös parabola. Egy köbös parabola ágai y=x³ 1. és 3. negyedében találhatók.
Egyenletes funkció.
Funkció f akkor is meghívódik, ha a változó minden értékével együtt x -X f(- x)= f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátatengelyre (Oy). Az y=x 2 függvény páros.
Páratlan funkció.
Funkció f páratlannak nevezzük, ha a változó minden értékével együtt x a függvényérték tartományából ( -X) szintén e funkció körébe tartozik, és az egyenlőség teljesül: f(- x)=- f(x) . Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Az y=x 3 függvény páratlan.
Másodfokú egyenlet.
Meghatározás. A forma egyenlete ax 2 +bx+c=0, Ahol a, bÉs c– bármilyen valós szám, és a≠0, x– változó, másodfokú egyenletnek nevezzük.
a- első együttható, b– második együttható, c- ingyenes tag.
Hiányos másodfokú egyenletek megoldása.
- ax 2 =0 – befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0, c=0 ). Megoldás: x=0. Válasz: 0.
- ax 2 +bx=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (c=0 ). Megoldás: x (ax+b)=0 → x 1 =0 vagy ax+b=0 → x 2 =-b/a. Válasz: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 –befejezetlen másodfokú egyenlet (b=0 ); Megoldás: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Ha (-c/a)<0 , akkor nincsenek igazi gyökerek. Ha (-с/а)>0
- ax 2 +bx+c=0- másodfokú egyenletÁltalános nézet
Megkülönböztető D=b 2-4ac.
Ha D>0, akkor két valódi gyökerünk van:
Ha D=0, akkor egyetlen gyökünk van (vagy két egyenlő gyökünk) x=-b/(2a).
Ha D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát űrlap akár másodikra is
Együttható b
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát típus biztosított : a-b+c=0.
Az első gyök mindig egyenlő mínusz eggyel, a második gyök pedig mindig egyenlő mínuszral Val vel, osztva A:
x1 =-1, x2 =-c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – másodfokú egyenlet privát típus biztosított: a+b+c=0 .
Az első gyök mindig egyenlő eggyel, a második gyök pedig egyenlő Val vel, osztva A:
x 1 = 1, x 2 = c/a.
A megadott másodfokú egyenletek megoldása.
- x 2 +px+q=0 – redukált másodfokú egyenlet (az első együttható eggyel egyenlő).
A redukált másodfokú egyenlet gyökeinek összege x 2 +px+q=0 egyenlő az ellenkező előjellel vett második együtthatóval, és a gyökök szorzata egyenlő a szabad taggal:
ax 2 +bx+c=a (x-x 1) (x-x 2), Ahol x 1, x 2- másodfokú egyenlet gyökei ax 2 +bx+c=0.
A természetes argumentum függvényét számsorozatnak, a sorozatot alkotó számokat pedig a sorozat tagjainak nevezzük.
A numerikus sorrend a következő módokon adható meg: verbális, elemző, ismétlődő, grafikus.
Olyan numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz hozzáadódik egy adott sorozathoz d, aritmetikai progressziónak nevezzük. Szám d aritmetikai sorozat különbségének nevezzük. Számtani haladásban (a n), azaz egy aritmetikai sorozatban a következő tagokkal: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... definíció szerint: a 2 = a 1 + d; a 3 =a 2 + d; a 4 =a 3 + d; a 5 =a 4 + d; ...; a n =a n-1 + d; …
Egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának képlete.
a n =a 1 + (n-1) d.
A számtani progresszió tulajdonságai.
- Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával:
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Egy számtani sorozat minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő a tőle egyenlő távolságra lévő tagok számtani átlagával:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Képletek egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegére.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Geometriai progresszió.
A geometriai progresszió definíciója.
Olyan numerikus sorozat, amelynek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal egy adott sorozathoz q, geometriai progressziónak nevezzük. Szám q geometriai progresszió nevezőjének nevezzük. Mértani haladásban (b n), azaz b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... definíció szerint: b 2 = b 1 ∙q; b 3 = b 2 ∙q; b4=b3∙q; ... ; b n =b n -1 ∙q.
Egy geometriai progresszió n-edik tagjának képlete.
b n =b 1 ∙q n -1.
A geometriai progresszió tulajdonságai.
Az első összegének képleten geometriai progresszió tagjai.
Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege.
A végtelen periodikus tizedesjegy egyenlő a közönséges törttel, melynek számlálójában a tizedesvessző utáni teljes szám és a tört periódusa előtti tizedesvessző utáni szám különbsége szerepel, a nevező pedig „kilencből” és „nullából” áll, és annyi „ kilenc”, ahány számjegy van a periódusban, és annyi „nulla”, ahány számjegy van a törtpont előtti tizedesvessző után. Példa:
Derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza, koszinusza, érintője és kotangense.
(α+β=90°)
Van: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgp=ctga; ctgβ=tgα. Mivel β=90°-α, akkor
sin(90°-α)=cosa; cos (90°-a)=sina;
tg (90°-a)=ctga; ctg (90°-α)=tgα.
Az egymást 90°-ig kiegészítő szögek kofüggvényei egyenlőek.
Összeadási képletek.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Képletek kettős és hármas argumentumokhoz.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3α=4cos 3α-3cosα;
Képletek egy összeg (különbség) szorzattá alakítására.
Képletek egy szorzat összeggé (különbséggé) való átalakításához.
Félargumentumok.
Szinusz és koszinusz bármilyen szögből.
A trigonometrikus függvények egyenletessége (páratlansága).
A trigonometrikus függvények közül csak egy páros: y=cosx, a másik három páratlan, azaz cos (-α)=cosα;
sin (-α)=-sinα; tg(-a)=-tga; ctg (-α)=-ctgα.
Trigonometrikus függvények jelei koordinátanegyedek szerint.
Egyes szögek trigonometrikus függvényeinek értékei.
Radiánok.
1) 1 radián a középponti szög értéke egy olyan ív alapján, amelynek hossza megegyezik az adott kör sugarával. 1 rad≈57°.
2) Egy szög fokmértékének átalakítása radiánmértékre.
3) Radiánszögmérték átalakítása fokmértékre.
Redukciós képletek.
Mnemonikus szabály:
1. A redukált funkció elé tegye a redukálható jelet.
2. Ha a π/2 (90°) argumentumot páratlan számú alkalommal írjuk le, akkor a függvény kofüggvényre változik.
Inverz trigonometrikus függvények.
Egy szám arcszinusza (arcsin a) egy szög a [-π/2; π/2 ], amelynek szinusza egyenlő a-val.
arcsin(- a)=- arcsina.
Egy szám arckoszinusza (arccos a) egy szög az intervallumból, amelynek koszinusza egyenlő a-val.
arccos(-a)=π – arccosa.
Egy szám arktangense (arctg a) egy szög a (-π/2; π/2) intervallumból, amelynek érintője egyenlő a-val.
arctg(- a)=- arctga.
Az a szám arckotangense (arcctg a) a (0; π) intervallumból bezárt szög, amelynek kotangense egyenlő a-val.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.
Általános képletek.
1)
sin t=a, 0
2)
sin t = - a, 0
3)
cos t=a, 0
4)
cos t =-a, 0
5)
tg t =a, a>0, akkor t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, akkor t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, majd t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, majd t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Különleges képletek. 1)
sin t =0, akkor t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, akkor t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, akkor t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, akkor t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, akkor t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, akkor t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, akkor t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0, akkor t = π/2+πn, nϵZ. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása. 1)
bűn
2)
sint>a (|a|<1), arcsina+2πn 3)
költség
4)
költség>a (|a|<1), -arccosa+2πn 5)
tgt
6)
tgt>a, arctga+πn 7)
ctgt
8)
ctgt>a, πn Egyenesen egy repülőn. az M(x 1; y 1) ponton keresztül, alakja: y-y 1 =k (x-x 1). A kör egyenlete. Korlátok. Függvénygráfok transzformációja (konstrukciója). Periodikus funkció. Egy függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát, amikor az utóbbi nullára hajlik, a függvény deriváltjának nevezzük egy adott pontban: A hatványfüggvény minden tulajdonsága érvényes
: Egy szám logaritmusa b alapján A (log a b) az a kitevő, amelyre egy számot emelni kell A hogy megkapja a számot b. log a b=
n, Ha a n=
b. Példák: 1)log 2 8= 3
, mert 2 3 =8; 2) log 5 (1/25)= -2
, mert 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3)log 7 1= 0
, mert 7 0 =1. A logaritmus jele alatt csak lehet pozitív számok, és a logaritmus alapja a szám a≠1. A logaritmus értéke tetszőleges szám lehet. Ez az azonosság a logaritmus definíciójából következik: mivel a logaritmus egy kitevő ( n), majd a számot erre a hatványra emelve A, megkapjuk a számot b. Logaritmus a bázishoz 10
decimális logaritmusnak nevezik, és amikor írják, a 10-es alap és az „o” betű kimarad a „log” szó írásmódjából. lg7
=log 10 7, lg7
– a 7-es szám tizedes logaritmusa. Logaritmus a bázishoz e(Neper-szám e≈2,7) természetes logaritmusnak nevezzük. ln7
=log e 7, ln7
– a 7-es szám természetes logaritmusa. A logaritmusok tulajdonságai bármely bázis logaritmusára érvényes. log a1=0
Az egység logaritmusa nulla (a>0, a≠1). log a a=1
Egy szám logaritmusa A alapján A egyenlő eggyel (a>0, a≠1). log a (x∙y)=log a x+log a y A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével. log a(x/
y)=
naplózzon egy x-et—
log a y A hányados logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel. log a b=log c b/log c a Egy szám logaritmusa b alapján A egyenlő a szám logaritmusával búj alapon Val vel, osztva a régi bázis logaritmusával Aúj alapon Val vel. log a b k=
k∙
log a b Hatvány logaritmusa ( b k) egyenlő a kitevő szorzatával ( k) az alap logaritmusával ( b) ilyen fokú. log a n b=(1/
n)∙
log a b Egy szám logaritmusa b alapján a n egyenlő a tört szorzatával 1/
n egy szám logaritmusához b alapján a. log a n b k=(k/
n)∙
log a b A képlet az előző két képlet kombinációja. log a r b r =log a b vagy log a b=
log a r b r A logaritmus értéke nem változik, ha a logaritmus alapját és a logaritmusjel alatti számot azonos hatványra emeljük. 1)
(∫f (x) dx)"=f (x); 2)
d∫f (x) dx=f (x) dx; 3)
∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx; 4)
∫dF (x) dx=F (x)+C vagy ∫F"(x) dx=F (x)+C; 5)
∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx; 6)
∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C. Integrálok táblázata. A forradalom testének térfogata. Összesen 431 képlet található mind az algebrában, mind a geometriában. Azt tanácsolom, hogy nyomtassa ki a kapott pdf fájlt könyv formájában. Hogyan kell ezt csinálni - Sikeres tanulmányokat, barátok! Írja be a számot és a fokszámot, majd nyomja meg az = gombot. Az algebra főfokainak táblázata kompakt formában (kép, kényelmesen nyomtatható), a szám tetején, a fok oldalán. A kitevő jelölése , vagy . A kitevő fokának alapja az e szám. Ez egy irracionális szám. Ez megközelítőleg egyenlő Az e számot a sorozat határán keresztül határozzuk meg. Ez az ún második csodálatos határ: Az e szám sorozatként is ábrázolható: A grafikon az exponenciálist mutatja e bizonyos mértékig x. Az alapképletek ugyanazok, mint az e fokú bázisú exponenciális függvénynél. ;
Tetszőleges a fokú bázisú exponenciális függvény kifejezése exponenciálison keresztül: Hadd y (x) = e x. Akkor A kitevő egy hatványbázisú exponenciális függvény tulajdonságaival rendelkezik e > 1
.
Kitevő y (x) = e x minden x-re definiálva. Az exponenciális monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. Főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza. A kitevő inverze a természetes logaritmus. Derivált e bizonyos mértékig x egyenlő e bizonyos mértékig x
: A komplex számokkal végzett műveletek végrehajtása a Euler-képletek: ;
;
;
;
Referenciák:
Kedves oldalam látogatói, mindenki alapvető matematikai képletek 7-11 linkre kattintva szerezheti be (teljesen ingyenesen).
Fokozattáblázat
Példa: 2 3 =8
Fokozat:
Szám 2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1 024
3
9
27
81
243
729
2 187
6 561
19 683
59 049
4
16
64
256
1 024
4 096
16 384
65 536
262 144
1 048 576
5
25
125
625
3 125
15 625
78 125
390 625
1 953 125
9 765 625
6
36
216
1 296
7 776
46 656
279 936
1 679 616
10 077 696
60 466 176
7
49
343
2 401
16 807
117 649
823 543
5 764 801
40 353 607
282 475 249
8
64
512
4 096
32 768
262 144
2 097 152
16 777 216
134 217 728
1 073 741 824
9
81
729
6 561
59 049
531 441
4 782 969
43 046 721
387 420 489
3 486 784 401
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
100 000 000
1 000 000 000
10 000 000 000
11
121
1 331
14 641
161 051
1 771 561
19 487 171
214 358 881
2 357 947 691
25 937 424 601
12
144
1 728
20 736
248 832
2 985 984
35 831 808
429 981 696
5 159 780 352
61 917 364 224
13
169
2 197
28 561
371 293
4 826 809
62 748 517
815 730 721
10 604 499 373
137 858 491 849
14
196
2 744
38 416
537 824
7 529 536
105 413 504
1 475 789 056
20 661 046 784
289 254 654 976
15
225
3 375
50 625
759 375
11 390 625
170 859 375
2 562 890 625
38 443 359 375
576 650 390 625
16
256
4 096
65 536
1 048 576
16 777 216
268 435 456
4 294 967 296
68 719 476 736
1 099 511 627 776
17
289
4 913
83 521
1 419 857
24 137 569
410 338 673
6 975 757 441
118 587 876 497
2 015 993 900 449
18
324
5 832
104 976
1 889 568
34 012 224
612 220 032
11 019 960 576
198 359 290 368
3 570 467 226 624
19
361
6 859
130 321
2 476 099
47 045 881
893 871 739
16 983 563 041
322 687 697 779
6 131 066 257 801
20
400
8 000
160 000
3 200 000
64 000 000
1 280 000 000
25 600 000 000
512 000 000 000
10 240 000 000 000
21
441
9 261
194 481
4 084 101
85 766 121
1 801 088 541
37 822 859 361
794 280 046 581
16 679 880 978 201
22
484
10 648
234 256
5 153 632
113 379 904
2 494 357 888
54 875 873 536
1 207 269 217 792
26 559 922 791 424
23
529
12 167
279 841
6 436 343
148 035 889
3 404 825 447
78 310 985 281
1 801 152 661 463
41 426 511 213 649
24
576
13 824
331 776
7 962 624
191 102 976
4 586 471 424
110 075 314 176
2 641 807 540 224
63 403 380 965 376
25
625
15 625
390 625
9 765 625
244 140 625
6 103 515 625
152 587 890 625
3 814 697 265 625
95 367 431 640 625
A fokozat tulajdonságai - 2 rész
e szám
e ≈ 2,718281828459045...
.
.
Exponenciális grafikon
Exponenciális gráf, y = e x .
y (x) = e x
A grafikonon látható, hogy a kitevő monoton növekszik.Képletek
;
;
.
Magánértékek
.
Kitevő tulajdonságai
Domain, értékkészlet
Meghatározási tartománya:
- ∞ < x + ∞
.
Számos jelentése:
0
< y < + ∞
.
Szélsőségek, növekvő, csökkenő
Inverz függvény
;
.
A kitevő származéka
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>Integrál
Komplex számok
,
hol van a képzeletbeli egység:
.
Kifejezések hiperbolikus függvényeken keresztül
.
Kifejezések trigonometrikus függvényekkel
;
.
Teljesítménysorozat bővítése
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.