Reševanje sistemov enačb z različnimi metodami. Osnovne metode reševanja sistemov enačb

Gradivo v tem članku je namenjeno prvemu seznanjanju s sistemi enačb. Tu bomo predstavili definicijo sistema enačb in njegovih rešitev ter razmislili o najpogostejših vrstah sistemov enačb. Kot običajno bomo podali razlagalne primere.

Navigacija po strani.

Kaj je sistem enačb?

K definiciji sistema enačb se bomo približali postopoma. Najprej povejmo, da ga je priročno dati, pri čemer navedemo dve točki: prvič, vrsto posnetka in, drugič, pomen, vgrajen v ta posnetek. Poglejmo jih po vrsti in nato sklepanje posplošimo v definicijo sistemov enačb.

Naj jih bo pred nami več. Na primer, vzemimo dve enačbi 2 x+y=−3 in x=5. Zapišimo jih enega pod drugim in jih na levi združimo z zavitim oklepajem:

Tovrstni zapisi, ki so več enačb, razvrščenih v stolpec in na levi strani združenih z zavitim oklepajem, so zapisi sistemov enačb.

Kaj pomenijo takšni vnosi? Določajo množico vseh takih rešitev enačb sistema, ki so rešitev vsake enačbe.

Ne bi škodilo, če bi ga opisali z drugimi besedami. Recimo, da so nekatere rešitve prve enačbe rešitve vseh drugih enačb sistema. Sistemski zapis torej samo pomeni njih.

Zdaj smo pripravljeni ustrezno sprejeti definicijo sistema enačb.

Opredelitev.

Sistemi enačb klicni zapisi, ki so ena pod drugo nameščene enačbe, združene na levi strani z zavitim oklepajem, ki označujejo množico vseh rešitev enačb, ki so tudi rešitve posamezne enačbe sistema.

Podobna definicija je podana v učbeniku, vendar tam ni podana za splošni primer, ampak za dve racionalni enačbi z dvema spremenljivkama.

Glavne vrste

Jasno je, da obstaja neskončno število različnih enačb. Seveda obstaja tudi neskončno število sistemov enačb, sestavljenih z njihovo pomočjo. Zato je za udobje preučevanja in dela s sistemi enačb smiselno, da jih razdelimo v skupine glede na podobne značilnosti in nato preidemo na obravnavo sistemov enačb posameznih vrst.

Prva razdelitev je razvidna iz števila enačb, vključenih v sistem. Če sta enačbi dve, potem lahko rečemo, da imamo sistem dveh enačb, če so tri, potem sistem treh enačb itd. Jasno je, da nima smisla govoriti o sistemu ene enačbe, saj gre v tem primeru v bistvu za samo enačbo in ne za sistem.

Naslednja delitev temelji na številu spremenljivk, vključenih v pisanje enačb sistema. Če je spremenljivka ena, potem imamo opravka s sistemom enačb z eno spremenljivko (pravijo tudi z eno neznanko), če sta dve, pa s sistemom enačb z dvema spremenljivkama (z dvema neznankama) itd. npr. je sistem enačb z dvema spremenljivkama x in y.

To se nanaša na število vseh različnih spremenljivk, vključenih v snemanje. Ni nujno, da so vsi vključeni v zapis vsake enačbe naenkrat; zadostuje njihova prisotnost v vsaj eni enačbi. npr. je sistem enačb s tremi spremenljivkami x, y in z. V prvi enačbi je spremenljivka x prisotna eksplicitno, y in z pa sta implicitna (predpostavimo lahko, da imata ti spremenljivki nič), v drugi enačbi pa sta x in z, vendar spremenljivka y ni eksplicitno predstavljena. Z drugimi besedami, prvo enačbo lahko obravnavamo kot , drugi pa kot x+0·y−3·z=0 .

Tretja točka, v kateri se sistemi enačb razlikujejo, je vrsta samih enačb.

V šoli se študij sistemov enačb začne z sistemi dveh linearnih enačb v dveh spremenljivkah. To pomeni, da taki sistemi tvorijo dve linearni enačbi. Tukaj je nekaj primerov: in . Spoznajo osnove dela s sistemi enačb.

Pri reševanju zahtevnejših nalog lahko naletite tudi na sisteme treh linearnih enačb s tremi neznankami.

Nadalje v 9. razredu se sistemom dveh enačb z dvema spremenljivkama dodajo nelinearne enačbe, večinoma celotne enačbe druge stopnje, redkeje - višje stopnje. Te sisteme imenujemo sistemi nelinearnih enačb, po potrebi je določeno število enačb in neznank. Pokažimo primere takih sistemov nelinearnih enačb: in .

In potem v sistemih obstajajo tudi, na primer, . Običajno jih preprosto imenujemo sistemi enačb, ne da bi navedli, katere enačbe. Tukaj velja omeniti, da se najpogosteje sistem enačb preprosto imenuje "sistem enačb", pojasnila pa se dodajajo le, če je potrebno.

V srednji šoli, ko se snov preučuje, iracionalne, trigonometrične, logaritemske in eksponentne enačbe prodrejo v sisteme: , , .

Če pogledamo še dlje v univerzitetni program prvega letnika, je glavni poudarek na študiju in reševanju sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE), torej enačb, v katerih so na levi strani polinomi prve stopnje, in na desni strani so določene številke. A tam za razliko od šole ne jemljejo več dveh linearnih enačb z dvema spremenljivkama, ampak poljubno število enačb s poljubnim številom spremenljivk, ki pogosto ne sovpada s številom enačb.

Kaj je rešitev sistema enačb?

Izraz "rešitev sistema enačb" se neposredno nanaša na sisteme enačb. V šoli je podana definicija reševanja sistema enačb z dvema spremenljivkama :

Opredelitev.

Reševanje sistema enačb z dvema spremenljivkama se imenuje par vrednosti teh spremenljivk, ki vsako enačbo sistema spremeni v pravilno, z drugimi besedami, je rešitev vsake enačbe sistema.

Na primer, par vrednosti spremenljivk x=5, y=2 (lahko ga zapišemo kot (5, 2)) je po definiciji rešitev sistema enačb, saj so enačbe sistema, ko je x= 5, y=2 zamenjamo vanje, spremenimo v pravilne številske enakosti 5+2=7 oziroma 5−2=3. Toda par vrednosti x = 3, y = 0 ni rešitev tega sistema, saj se bo pri zamenjavi teh vrednosti v enačbe prva od njih spremenila v napačno enakost 3 + 0 = 7.

Podobne definicije lahko formuliramo za sisteme z eno spremenljivko, pa tudi za sisteme s tremi, štirimi itd. spremenljivke.

Opredelitev.

Reševanje sistema enačb z eno spremenljivko obstajala bo vrednost spremenljivke, ki je koren vseh enačb sistema, to je pretvorba vseh enačb v pravilne numerične enačbe.

Dajmo primer. Razmislite o sistemu enačb z eno spremenljivko t oblike . Število −2 je njena rešitev, saj sta (−2) 2 =4 in 5·(−2+2)=0 pravi številski enakosti. In t=1 ni rešitev sistema, saj bo zamenjava te vrednosti dala dve nepravilni enačbi 1 2 =4 in 5·(1+2)=0.

Opredelitev.

Reševanje sistema s tremi, štirimi itd. spremenljivke imenovan tri, štiri itd. vrednosti spremenljivk, tako da se vse enačbe sistema spremenijo v prave enakosti.

Torej je po definiciji trojka vrednosti spremenljivk x=1, y=2, z=0 rešitev sistema , saj so 2·1=2, 5·2=10 in 1+2+0=3 prave številske enakosti. In (1, 0, 5) ni rešitev tega sistema, saj se pri zamenjavi teh vrednosti spremenljivk v enačbe sistema druga od njih spremeni v napačno enakost 5·0=10 in tudi tretji 1+0+5=3.

Upoštevajte, da sistemi enačb morda nimajo rešitev, lahko imajo končno število rešitev, na primer ena, dve, ... ali pa imajo lahko neskončno veliko rešitev. To boste videli, ko se boste poglobili v temo.

Ob upoštevanju definicij sistema enačb in njihovih rešitev lahko sklepamo, da je rešitev sistema enačb presečišče množic rešitev vseh njegovih enačb.

Za zaključek je tukaj nekaj povezanih definicij:

Opredelitev.

neskupni, če nima rešitev, sicer se sistem pokliče sklep.

Opredelitev.

Sistem enačb se imenuje negotova, če ima neskončno veliko rešitev, in določene, če ima končno število rešitev ali pa jih sploh nima.

Ti izrazi so na primer predstavljeni v učbeniku, vendar se v šoli uporabljajo precej redko;

Bibliografija.

Algebra: učbenik za 7. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: 9. razred: poučna. za splošno izobraževanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovič A. G. Algebra. 7. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred. V 2 delih 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovič A. G. Algebra in začetek matematične analize. 11. razred. V 2 delih 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov (raven profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
A. G. Kurosh. Tečaj višje algebre.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitična geometrija: Učbenik: Za univerze. – 5. izd. – M.: Znanost. Fizmatlit, 1999. – 224 str. – (Tečaj višje matematike in matematične fizike). – ISBN 5-02-015234 – X (3. številka)

Bolj zanesljiv kot grafična metoda, obravnavana v prejšnjem odstavku.

Metoda zamenjave

To metodo smo uporabili v 7. razredu za reševanje sistemov linearnih enačb. Algoritem, ki smo ga razvili v 7. razredu, je povsem primeren za reševanje sistemov poljubnih dveh enačb (ne nujno linearnih) z dvema spremenljivkama x in y (seveda sta lahko spremenljivki označeni tudi z drugimi črkami, kar pa ni pomembno). Pravzaprav smo ta algoritem uporabili v prejšnjem odstavku, ko je problem dvomestnega števila pripeljal do matematičnega modela, ki je sistem enačb. Zgornji sistem enačb smo rešili z metodo substitucije (glej primer 1 iz 4. odstavka).

Algoritem za uporabo substitucijske metode pri reševanju sistema dveh enačb z dvema spremenljivkama x, y.

1. Iz ene enačbe sistema izrazite y z x.
2. Dobljeni izraz zamenjajte namesto y v drugo enačbo sistema.
3. Rešite dobljeno enačbo za x.
4. Zamenjajte vsak koren enačbe, najden v tretjem koraku, namesto x v izraz y skozi x, dobljen v prvem koraku.
5. Odgovor zapišite v obliki parov vrednosti (x; y), ki ste jih našli v tretjem oziroma četrtem koraku.

4) Zamenjajte eno za drugo vsako od najdenih vrednosti y v formulo x = 5 - 3. Če, potem
5) Pari (2; 1) in rešitve danega sistema enačb.

Odgovor: (2; 1);

Algebraična metoda dodajanja

To metodo, tako kot metodo substitucije, poznaš iz predmeta algebra v 7. razredu, kjer je bila uporabljena za reševanje sistemov linearnih enačb. Spomnimo se bistva metode z naslednjim primerom.

Primer 2. Reši sistem enačb

Pomnožimo vse člene prve enačbe sistema s 3, drugo enačbo pa pustimo nespremenjeno:
Odštejte drugo enačbo sistema od njegove prve enačbe:

Kot rezultat algebraičnega seštevanja dveh enačb prvotnega sistema je nastala enačba, ki je enostavnejša od prve in druge enačbe danega sistema. S to enostavnejšo enačbo imamo pravico zamenjati katerokoli enačbo danega sistema, na primer drugo. Nato bo dani sistem enačb nadomeščen s preprostejšim sistemom:

Ta sistem je mogoče rešiti z metodo zamenjave. Iz druge enačbe najdemo, če zamenjamo ta izraz namesto y v prvo enačbo sistema, dobimo

Ostaja, da nadomestimo najdene vrednosti x v formulo

Če je x = 2, potem

Tako smo našli dve rešitvi sistema:

Metoda za uvajanje novih spremenljivk

Z načinom uvajanja nove spremenljivke pri reševanju racionalnih enačb z eno spremenljivko ste se seznanili pri predmetu algebra 8. razreda. Bistvo te metode za reševanje sistemov enačb je enako, vendar s tehničnega vidika obstajajo nekatere značilnosti, ki jih bomo obravnavali v naslednjih primerih.

Primer 3. Reši sistem enačb

Vstavimo novo spremenljivko. Nato lahko prvo enačbo sistema prepišemo v enostavnejši obliki: Rešimo to enačbo glede na spremenljivko t:

Obe vrednosti izpolnjujeta pogoj in sta zato koreni racionalne enačbe s spremenljivko t. Toda to pomeni bodisi, da je x = 2y, ali
Tako smo z metodo vnosa nove spremenljivke uspeli prvo enačbo sistema, ki je bila na videz precej zapletena, »razslojiti« na dve enostavnejši enačbi:

x = 2 y; y - 2x.

Kaj je naslednje? In potem je treba vsako od dveh dobljenih preprostih enačb po vrsti obravnavati v sistemu z enačbo x 2 - y 2 = 3, ki se je še nismo spomnili. Z drugimi besedami, problem se zmanjša na rešitev dveh sistemov enačb:

Najti moramo rešitve za prvi sistem, drugi sistem in v odgovor vključiti vse nastale pare vrednosti. Rešimo prvi sistem enačb:

Uporabimo metodo zamenjave, še posebej, ker je tukaj vse pripravljeno zanjo: zamenjajmo izraz 2y namesto x v drugo enačbo sistema. Dobimo

Ker je x = 2y, dobimo x 1 = 2, x 2 = 2. Tako dobimo dve rešitvi danega sistema: (2; 1) in (-2; -1). Rešimo drugi sistem enačb:

Ponovno uporabimo metodo zamenjave: v drugo enačbo sistema nadomestimo izraz 2x namesto y. Dobimo

Ta enačba je brez korenin, kar pomeni, da sistem enačb nima rešitev. Tako je treba v odgovor vključiti le rešitve prvega sistema.

Odgovor: (2; 1); (-2;-1).

Metoda uvajanja novih spremenljivk pri reševanju sistemov dveh enačb z dvema spremenljivkama je uporabljena v dveh različicah. Prva možnost: ena nova spremenljivka je uvedena in uporabljena samo v eni enačbi sistema. Točno to se je zgodilo v primeru 3. Druga možnost: dve novi spremenljivki sta uvedeni in uporabljeni hkrati v obeh enačbah sistema. Tako bo v primeru 4.

Primer 4. Reši sistem enačb

Predstavimo dve novi spremenljivki:

Potem to upoštevajmo

To vam bo omogočilo, da dani sistem prepišete v veliko enostavnejši obliki, vendar z upoštevanjem novih spremenljivk a in b:

Ker je a = 1, potem iz enačbe a + 6 = 2 ugotovimo: 1 + 6 = 2; 6=1. Tako smo glede spremenljivk a in b dobili eno rešitev:

Če se vrnemo k spremenljivkama x in y, dobimo sistem enačb

Za rešitev tega sistema uporabimo metodo algebraičnega seštevanja:

Od takrat iz enačbe 2x + y = 3 najdemo:
Tako smo glede spremenljivk x in y dobili eno rešitev:

Zaključimo ta odstavek s kratko, a resno teoretično razpravo. Nekaj izkušenj si že pridobil pri reševanju različnih enačb: linearnih, kvadratnih, racionalnih, iracionalnih. Veste, da je glavna ideja reševanja enačbe postopno prehajanje iz ene enačbe v drugo, preprostejšo, a enakovredno dani. V prejšnjem odstavku smo predstavili koncept enakovrednosti za enačbe z dvema spremenljivkama. Ta koncept se uporablja tudi za sisteme enačb.

Opredelitev.

Dva sistema enačb s spremenljivkama x in y imenujemo enakovredna, če imata enaki rešitvi ali če oba sistema nimata rešitve.

Vse tri metode (substitucija, algebraično seštevanje in uvedba novih spremenljivk), ki smo jih obravnavali v tem razdelku, so z vidika enakovrednosti popolnoma pravilne. Z drugimi besedami, s temi metodami nadomestimo en sistem enačb z drugim, enostavnejšim, a enakovrednim prvotnemu sistemu.

Grafična metoda za reševanje sistemov enačb

Naučili smo se že reševati sisteme enačb na običajne in zanesljive načine, kot je metoda substitucije, algebraičnega seštevanja in uvajanja novih spremenljivk. Zdaj pa se spomnimo metode, ki ste jo že preučevali v prejšnji lekciji. Se pravi, ponovimo, kar veste o metodi grafičnega reševanja.

Metoda grafičnega reševanja sistemov enačb vključuje izdelavo grafa za vsako od določenih enačb, ki so vključene v dani sistem in se nahajajo v isti koordinatni ravnini, pa tudi tam, kjer je treba najti presečišča točk teh grafi. Za rešitev tega sistema enačb so koordinate te točke (x; y).

Ne smemo pozabiti, da je običajno, da ima grafični sistem enačb eno samo pravilno rešitev ali neskončno število rešitev ali pa sploh nima rešitev.

Oglejmo si vsako od teh rešitev podrobneje. In tako ima lahko sistem enačb edinstveno rešitev, če se premice, ki so grafi enačb sistema, sekajo. Če so te premice vzporedne, potem tak sistem enačb nima popolnoma nobenih rešitev. Če neposredni grafi enačb sistema sovpadajo, potem tak sistem omogoča iskanje številnih rešitev.

No, zdaj pa si poglejmo algoritem za reševanje sistema dveh enačb z 2 neznankama z uporabo grafične metode:

Najprej zgradimo graf 1. enačbe;
Drugi korak bo izdelava grafa, ki se nanaša na drugo enačbo;
Tretjič, najti moramo presečišča grafov.
In kot rezultat dobimo koordinate vsake presečne točke, ki bo rešitev sistema enačb.

Oglejmo si to metodo podrobneje na primeru. Dobili smo sistem enačb, ki jih je treba rešiti:

Reševanje enačb

1. Najprej bomo zgradili graf te enačbe: x2+y2=9.

Vendar je treba opozoriti, da bo ta graf enačb krog s središčem na začetku, njegov polmer pa bo enak tri.

2. Naš naslednji korak bo risanje grafa enačbe, kot je: y = x – 3.

V tem primeru moramo zgraditi premico in poiskati točki (0;−3) in (3;0).

3. Poglejmo, kaj imamo. Vidimo, da premica seka krog v dveh točkah A in B.

Zdaj iščemo koordinate teh točk. Vidimo, da koordinate (3;0) ustrezajo točki A, koordinate (0;−3) pa točki B.

In kaj dobimo kot rezultat?

Števili (3;0) in (0;−3), dobljeni, ko premica seka krog, sta ravno rešitvi obeh enačb sistema. In iz tega sledi, da so ta števila tudi rešitve tega sistema enačb.

To pomeni, da sta odgovor na to rešitev številki: (3;0) in (0;−3).

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema pri tečaju linearne algebre. Ogromno problemov iz vseh vej matematike se spušča na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ta članek. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

izberite optimalno metodo za reševanje vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
preuči teorijo izbrane metode,
rešite svoj sistem linearnih enačb z upoštevanjem podrobnih rešitev tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej podamo vse potrebne definicije, pojme in uvedemo oznake.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Po tem bomo prešli na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike, v katerih število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema singularna. Oblikujmo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (če so združljivi) z uporabo koncepta baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo posvetili strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu bomo obravnavali sisteme enačb, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po strani.

Definicije, pojmi, oznake.

Obravnavali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke, - koeficienti (nekatera realna ali kompleksna števila), - prosti členi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika pisanje tega sistema enačb ima obliko,
Kje - glavna matrika sistema, - stolpčna matrika neznanih spremenljivk, - stolpčna matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1)-ti stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk postane identiteta.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje sklep.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem – negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače - heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšni SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo enolično rešitev in v primeru homogenega sistema so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v srednji šoli. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih členov in z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih členov) :

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število enačb v sistemu večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , je matrika A invertibilna, kar pomeni, da obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matričnega stolpca neznanih spremenljivk. Tako smo z matrično metodo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem je mogoče SLAE rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebraičnih dodatkov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Ostaja še izračunati matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike v matrični stolpec brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej je x 1 izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler ne ostane samo neznana spremenljivka x n v zadnji enačbi. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem hodu Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, z uporabo te vrednosti iz predzadnje enačbe se izračuna x n-1 in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3, pri čemer ravnamo podobno z delom sistema, ki je označen na sliki.

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema stranema druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Zdaj odstranimo x 2 iz tretje enačbe tako, da njeni levi in desni strani dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnoženo z:

S tem se zaključi hod Gaussove metode naprej;

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe poiščemo preostalo neznano spremenljivko in s tem dokončamo obratno Gaussovo metodo.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Na splošno število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in singularna.

Kronecker–Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj neskladen, podaja Kronecker–Capellijev izrek:
Da bi bil sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, tj. , Rank(A)=Rank(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker–Capellijevega izreka za določitev združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Poglejmo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike enak dvema.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A), zato lahko z uporabo Kronecker–Capellijevega izreka sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki je različen od nič osnovni.

Iz definicije bazičnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več baznih minorov;

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p krat n enak r, potem so vsi vrstični (in stolpčni) elementi matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi vrstičnimi (in stolpčnimi) elementi, ki tvorijo osnova manjša.

Kaj nam pove izrek o rangu matrike?

Če smo po Kronecker–Capellijevem izreku ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli bazni minor glavne matrike sistema (njen vrstni red je enak r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrane osnovne podlage. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda je drugačen od nič. Na osnovi Kronecker–Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo minor vzamemo . Sestavljena je iz koeficientov prve in druge enačbe:

Tretja enačba sistema ne sodeluje pri tvorjenju baznega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo ga s Cramerjevo metodo:

odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v dobljenem SLAE manjše od števila neznanih spremenljivk n, potem na levi strani enačb pustimo člene, ki tvorijo osnovo, manjše, preostale člene pa prenesemo na desne strani enačb. enačbe sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (r od njih), ki ostanejo na levi strani enačb, se imenujejo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki so na desni strani prost.

Zdaj verjamemo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo preko prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Poglejmo si na primeru.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Poiščimo rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki meji na ta minor:

Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:

Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem konsistenten.

Za osnovo vzamemo najdeni neničelni minor tretjega reda.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:

Člene, vključene v bazni mol, pustimo na levi strani sistemskih enačb, ostale z nasprotnimi predznaki pa prenesemo na desne strani:

Dajmo prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to pomeni, da sprejmemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko

Rešimo nastali elementarni sistem linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode:

Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Povzemite.

Za rešitev sistema splošnih linearnih algebrskih enačb najprej določimo njegovo združljivost s Kronecker–Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nekompatibilen.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo bazni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega baznega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani sistemskih enačb pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale izraze prenesemo na desne strani in damo poljubne vrednosti prostih neznanih spremenljivk. Iz dobljenega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznane spremenljivke z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Gaussovo metodo je mogoče uporabiti za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb katere koli vrste, ne da bi jih najprej preizkusili glede skladnosti. Postopek zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z računskega vidika je boljša Gaussova metoda.

Njen podroben opis in analizirane primere si oglejte v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov splošnih linearnih algebrskih enačb.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku bomo govorili o istočasnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je zbirka (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če linearno neodvisne rešitve homogene SLAE označimo kot X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) so stolpčne matrike dimenzije n z 1) , potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula podaja vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzamemo kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), z uporabo formule bomo dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE definiramo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo bazni minor izvornega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnimi predznaki. Dajmo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti 1,0,0,...,0 in izračunamo glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer z uporabo metode Cramer. To bo povzročilo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . In tako naprej. Če prostim neznanim spremenljivkam priredimo vrednosti 0.0,…,0.1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Na ta način bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in je partikularna rešitev originalne nehomogene SLAE, ki jo dobimo tako, da prostim neznankam podamo vrednosti 0,0,...,0 in izračun vrednosti glavnih neznank.

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo robnih pomorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščimo obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je bil minor drugega reda, različen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dvema. Vzemimo . Za jasnost omenimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega baznega minora pa je enak dvema. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Lekcija in predstavitev na temo: "Sistemi enačb. Metoda substitucije, metoda dodajanja, metoda uvajanja nove spremenljivke"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja! Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 9. razred
Simulator za učbenike Atanasyan L.S. Simulator za učbenike Pogorelova A.V.

Metode reševanja sistemov neenačb

Fantje, preučevali smo sisteme enačb in se jih naučili reševati z uporabo grafov. Zdaj pa poglejmo, kateri drugi načini za reševanje sistemov obstajajo?
Skoraj vse metode za njihovo reševanje se ne razlikujejo od tistih, ki smo jih preučevali v 7. razredu. Zdaj moramo narediti nekaj prilagoditev glede na enačbe, ki smo se jih naučili reševati.
Bistvo vseh metod, opisanih v tej lekciji, je zamenjava sistema z enakovrednim sistemom s preprostejšo obliko in rešitvijo. Fantje, spomnite se, kaj je enakovredni sistem.

Metoda zamenjave

Prvi način reševanja sistemov enačb z dvema spremenljivkama nam je dobro znan - to je substitucijska metoda. To metodo smo uporabili za reševanje linearnih enačb. Zdaj pa poglejmo, kako rešiti enačbe v splošnem primeru?

Kako postopati, ko se odločate?
1. Izrazite eno od spremenljivk z drugo. Najpogosteje uporabljeni spremenljivki v enačbah sta x in y. V eni izmed enačb izrazimo eno spremenljivko z drugo. Namig: Preden začnete reševati, natančno preglejte obe enačbi in izberite tisto, pri kateri je lažje izraziti spremenljivko.
2. Dobljeni izraz zamenjajte v drugo enačbo namesto spremenljivke, ki je bila izražena.
3. Rešimo enačbo, ki smo jo dobili.
4. Dobljeno rešitev nadomestite z drugo enačbo. Če obstaja več rešitev, jih morate zamenjati zaporedno, da ne izgubite nekaj rešitev.
5. Kot rezultat boste prejeli par števil $(x;y)$, ki ga morate zapisati kot odgovor.

Primer.
Rešite sistem z dvema spremenljivkama z metodo zamenjave: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

rešitev.
Oglejmo si naše enačbe podrobneje. Očitno je izražanje y z x v prvi enačbi veliko preprostejše.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Zamenjajmo prvi izraz v drugo enačbo $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Rešimo drugo enačbo posebej:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Dobili smo dve rešitvi druge enačbe $x_1=2$ in $x_2=3$.
Zaporedoma nadomestite v drugo enačbo.
Če je $x=2$, potem je $y=3$. Če je $x=3$, potem je $y=2$.
Odgovor bosta dva para številk.
Odgovor: $(2;3)$ in $(3;2)$.

Algebraična metoda dodajanja

To metodo smo se učili tudi v 7. razredu.
Znano je, da lahko racionalno enačbo v dveh spremenljivkah pomnožimo s poljubnim številom, pri čemer ne pozabimo pomnožiti obeh strani enačbe. Eno od enačb smo pomnožili z določenim številom, tako da smo pri seštevanju dobljene enačbe drugi enačbi sistema eno od spremenljivk uničili. Nato je bila enačba rešena za preostalo spremenljivko.
Ta metoda še vedno deluje, čeprav ni vedno mogoče uničiti ene od spremenljivk. Vendar vam omogoča, da bistveno poenostavite obliko ene od enačb.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

rešitev.
Pomnožimo prvo enačbo z 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Odštejmo drugo od prve enačbe.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Kot lahko vidite, je oblika nastale enačbe veliko enostavnejša od prvotne. Zdaj lahko uporabimo metodo zamenjave.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Izrazimo x z y v dobljeni enačbi.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Imamo $y=-1$ in $y=-3$.
Zamenjajmo te vrednosti zaporedno v prvo enačbo. Dobimo dva para števil: $(1;-1)$ in $(-1;-3)$.
Odgovor: $(1;-1)$ in $(-1;-3)$.

Metoda za uvedbo nove spremenljivke

Tudi to metodo smo preučevali, a poglejmo jo še enkrat.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

rešitev.
Uvedimo zamenjavo $t=\frac(x)(y)$.
Prepišimo prvo enačbo z novo spremenljivko: $t+\frac(2)(t)=3$.
Rešimo nastalo enačbo:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Imamo $t=2$ ali $t=1$. Uvedimo obratno spremembo $t=\frac(x)(y)$.
Imamo: $x=2y$ in $x=y$.

Za vsakega od izrazov je treba izvirni sistem rešiti posebej:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Prejeli smo štiri pare rešitev.
Odgovor: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Primer.
Rešite sistem: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

rešitev.
Predstavimo zamenjavo: $z=\frac(2)(x-3y)$ in $t=\frac(3)(2x+y)$.
Prepišimo prvotne enačbe z novimi spremenljivkami:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Uporabimo metodo algebraičnega seštevanja:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Predstavimo obratno zamenjavo:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Uporabimo metodo zamenjave:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Odgovor: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemi na sistemih enačb za samostojno reševanje

Reši sisteme:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ konec(primeri)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7) )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.