Risolvere sistemi di equazioni utilizzando metodi diversi. Metodi di base per la risoluzione di sistemi di equazioni

Il materiale contenuto in questo articolo è destinato a una prima conoscenza dei sistemi di equazioni. Qui introdurremo la definizione di un sistema di equazioni e le sue soluzioni e considereremo anche i tipi più comuni di sistemi di equazioni. Come al solito forniremo esempi esplicativi.

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Cos'è un sistema di equazioni?

Ci avvicineremo gradualmente alla definizione del sistema di equazioni. Innanzitutto diciamo solo che è conveniente darlo, indicando due punti: in primo luogo, il tipo di registrazione e, in secondo luogo, il significato racchiuso in questa registrazione. Consideriamoli uno dopo l'altro e poi generalizziamo il ragionamento nella definizione di sistemi di equazioni.

Lascia che ce ne siano molti davanti a noi. Ad esempio, prendiamo due equazioni 2 x+y=−3 e x=5. Scriviamoli uno sotto l'altro e uniamoli a sinistra con la parentesi graffa:

Le registrazioni di questo tipo, che sono più equazioni disposte in colonna e unite a sinistra da una parentesi graffa, sono registrazioni di sistemi di equazioni.

Cosa significano tali voci? Definiscono l'insieme di tutte queste soluzioni alle equazioni del sistema che sono una soluzione a ciascuna equazione.

Non sarebbe male descriverlo in altre parole. Diciamo che alcune soluzioni della prima equazione sono soluzioni di tutte le altre equazioni del sistema. Quindi il record di sistema significa semplicemente loro.

Ora siamo pronti per accettare adeguatamente la definizione di sistema di equazioni.

Definizione.

Sistemi di equazioni richiamano i record che sono equazioni poste una sotto l'altra, unite a sinistra da una parentesi graffa, che denotano l'insieme di tutte le soluzioni di equazioni che sono anche soluzioni di ciascuna equazione del sistema.

Una definizione simile è data nel libro di testo, tuttavia, non è data per il caso generale, ma per due equazioni razionali con due variabili.

Tipi principali

È chiaro che esistono infinite equazioni diverse. Naturalmente esistono anche un'infinità di sistemi di equazioni compilati utilizzandoli. Pertanto, per comodità di studiare e lavorare con i sistemi di equazioni, ha senso dividerli in gruppi in base a caratteristiche simili, per poi passare a considerare i sistemi di equazioni dei singoli tipi.

La prima divisione si suggerisce in base al numero di equazioni incluse nel sistema. Se ci sono due equazioni, allora possiamo dire che abbiamo un sistema di due equazioni, se ce ne sono tre, allora un sistema di tre equazioni, ecc. È chiaro che non ha senso parlare di un sistema di un'equazione, poiché in questo caso, in sostanza, abbiamo a che fare con l'equazione stessa e non con il sistema.

La divisione successiva si basa sul numero di variabili coinvolte nella scrittura delle equazioni del sistema. Se c'è una variabile, allora abbiamo a che fare con un sistema di equazioni con una variabile (dicono anche con una incognita), se ce ne sono due, allora con un sistema di equazioni con due variabili (con due incognite), ecc. Per esempio, è un sistema di equazioni con due variabili x e y.

Questo si riferisce al numero di tutte le diverse variabili coinvolte nella registrazione. Non è necessario che siano inclusi tutti insieme nella registrazione di ciascuna equazione; è sufficiente la loro presenza in almeno un'equazione. Per esempio, è un sistema di equazioni con tre variabili x, y e z. Nella prima equazione, la variabile x è presente esplicitamente, e yez sono implicite (possiamo supporre che queste variabili abbiano zero), e nella seconda equazione ci sono x e z, ma la variabile y non è presentata esplicitamente. In altre parole, la prima equazione può essere vista come , e il secondo – come x+0·y−3·z=0.

Il terzo punto in cui differiscono i sistemi di equazioni è il tipo di equazioni stesse.

A scuola inizia lo studio dei sistemi di equazioni sistemi di due equazioni lineari in due variabili. Cioè, tali sistemi costituiscono due equazioni lineari. Qui ci sono un paio di esempi: E . Imparano le basi per lavorare con i sistemi di equazioni.

Quando risolvi problemi più complessi, potresti anche incontrare sistemi di tre equazioni lineari in tre incognite.

Inoltre nel 9 ° grado, le equazioni non lineari vengono aggiunte ai sistemi di due equazioni con due variabili, per lo più intere equazioni di secondo grado, meno spesso - gradi più alti. Questi sistemi sono chiamati sistemi di equazioni non lineari; se necessario, viene specificato il numero di equazioni e incognite. Mostriamo esempi di tali sistemi di equazioni non lineari: E .

E poi nei sistemi ci sono anche, ad esempio, . Di solito vengono chiamati semplicemente sistemi di equazioni, senza specificare quali equazioni. Vale la pena notare qui che molto spesso un sistema di equazioni viene semplicemente chiamato “sistema di equazioni” e i chiarimenti vengono aggiunti solo se necessari.

Al liceo, man mano che si studia la materia, le equazioni irrazionali, trigonometriche, logaritmiche ed esponenziali penetrano nei sistemi: , , .

Se guardiamo ancora più a fondo il curriculum universitario del primo anno, l'enfasi principale è sullo studio e sulla soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE), cioè equazioni in cui i membri di sinistra contengono polinomi di primo grado, e i lati di destra contengono determinati numeri. Ma lì, a differenza della scuola, non si prendono più due equazioni lineari con due variabili, ma un numero arbitrario di equazioni con un numero arbitrario di variabili, che spesso non coincide con il numero di equazioni.

Qual è la soluzione di un sistema di equazioni?

Il termine “soluzione di un sistema di equazioni” si riferisce direttamente ai sistemi di equazioni. A scuola viene data la definizione di risoluzione di un sistema di equazioni con due variabili :

Definizione.

Risoluzione di un sistema di equazioni con due variabili si chiama una coppia di valori di queste variabili che trasforma ciascuna equazione del sistema in quella corretta, in altre parole, è una soluzione per ciascuna equazione del sistema.

Ad esempio, una coppia di valori variabili x=5, y=2 (si può scrivere come (5, 2)) è una soluzione di un sistema di equazioni per definizione, poiché le equazioni del sistema, quando x= 5, y=2 vengono sostituiti in essi, si trasformano rispettivamente nelle uguaglianze numeriche corrette 5+2=7 e 5−2=3. Ma la coppia di valori x=3, y=0 non è una soluzione a questo sistema, poiché quando si sostituiscono questi valori nelle equazioni, il primo di essi si trasformerà nell'uguaglianza errata 3+0=7.

Definizioni simili possono essere formulate per sistemi con una variabile, così come per sistemi con tre, quattro, ecc. variabili.

Definizione.

Risoluzione di un sistema di equazioni con una variabile ci sarà un valore della variabile che è la radice di tutte le equazioni del sistema, cioè trasformerà tutte le equazioni in uguaglianze numeriche corrette.

Facciamo un esempio. Consideriamo un sistema di equazioni con una variabile t della forma . Il numero −2 è la sua soluzione, poiché sia (−2) 2 =4 che 5·(−2+2)=0 sono vere uguaglianze numeriche. E t=1 non è una soluzione del sistema, poiché la sostituzione di questo valore darà due uguaglianze errate 1 2 =4 e 5·(1+2)=0.

Definizione.

Risolvere un sistema con tre, quattro, ecc. variabili chiamato tre, quattro, ecc. valori delle variabili, rispettivamente, trasformando tutte le equazioni del sistema in vere uguaglianze.

Quindi, per definizione, una terna di valori delle variabili x=1, y=2, z=0 è una soluzione del sistema , poiché 2·1=2, 5·2=10 e 1+2+0=3 sono vere uguaglianze numeriche. E (1, 0, 5) non è una soluzione a questo sistema, poiché quando si sostituiscono questi valori delle variabili nelle equazioni del sistema, la seconda di esse si trasforma nell'uguaglianza errata 5·0=10, e la terza anche 1+0+5=3.

Si noti che i sistemi di equazioni potrebbero non avere soluzioni, potrebbero avere un numero finito di soluzioni, ad esempio una, due, ..., o potrebbero avere infinite soluzioni. Lo vedrai man mano che approfondisci l'argomento.

Tenendo conto delle definizioni di un sistema di equazioni e delle loro soluzioni, possiamo concludere che la soluzione di un sistema di equazioni è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le sue equazioni.

Per concludere, ecco alcune definizioni correlate:

Definizione.

non congiunto, se non ha soluzioni, altrimenti viene chiamato il sistema giunto.

Definizione.

Il sistema di equazioni si chiama incerto, se ha infinite soluzioni, e certo, se ha un numero finito di soluzioni o non le ha affatto.

Questi termini vengono introdotti, ad esempio, in un libro di testo, ma sono usati abbastanza raramente a scuola; si sentono più spesso negli istituti di istruzione superiore.

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Più affidabile del metodo grafico discusso nel paragrafo precedente.

Metodo di sostituzione

Abbiamo usato questo metodo in seconda media per risolvere sistemi di equazioni lineari. L'algoritmo sviluppato in seconda media è abbastanza adatto per risolvere sistemi di due equazioni qualsiasi (non necessariamente lineari) con due variabili xey (ovviamente le variabili possono essere designate con altre lettere, il che non ha importanza). In effetti, abbiamo utilizzato questo algoritmo nel paragrafo precedente, quando il problema di un numero a due cifre ha portato a un modello matematico, ovvero un sistema di equazioni. Abbiamo risolto questo sistema di equazioni sopra usando il metodo di sostituzione (vedi esempio 1 del § 4).

Un algoritmo per utilizzare il metodo di sostituzione quando si risolve un sistema di due equazioni con due variabili x, y.

1. Esprimi y in termini di x da un'equazione del sistema.
2. Sostituisci l'espressione risultante invece di y in un'altra equazione del sistema.
3. Risolvi l'equazione risultante per x.
4. Sostituisci a turno ciascuna delle radici dell'equazione trovata nel terzo passaggio invece di x nell'espressione da y a x ottenuta nel primo passaggio.
5. Scrivi la risposta sotto forma di coppie di valori (x; y), che sono state trovate rispettivamente nel terzo e quarto passaggio.

4) Sostituisci uno per uno ciascuno dei valori trovati di y nella formula x = 5 - 3. Se poi
5) Coppie (2; 1) e soluzioni di un dato sistema di equazioni.

Risposta: (2; 1);

Metodo dell'addizione algebrica

Questo metodo, come il metodo di sostituzione, ti è familiare dal corso di algebra di 7a elementare, dove veniva utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari. Ricordiamo l'essenza del metodo utilizzando il seguente esempio.

Esempio 2. Risolvere il sistema di equazioni

Moltiplichiamo tutti i termini della prima equazione del sistema per 3 e lasciamo invariata la seconda equazione:
Sottrai la seconda equazione del sistema dalla sua prima equazione:

Come risultato della somma algebrica di due equazioni del sistema originale, è stata ottenuta un'equazione più semplice della prima e della seconda equazione del sistema dato. Con questa equazione più semplice abbiamo il diritto di sostituire qualsiasi equazione di un dato sistema, ad esempio la seconda. Quindi il sistema di equazioni dato verrà sostituito da un sistema più semplice:

Questo sistema può essere risolto utilizzando il metodo di sostituzione. Dalla seconda equazione troviamo: Sostituendo questa espressione invece di y nella prima equazione del sistema, otteniamo

Resta da sostituire i valori trovati di x nella formula

Se x = 2 allora

Pertanto, abbiamo trovato due soluzioni al sistema:

Metodo per introdurre nuove variabili

Ti è stato presentato il metodo per introdurre una nuova variabile durante la risoluzione di equazioni razionali con una variabile nel corso di algebra di 8a elementare. L'essenza di questo metodo per risolvere i sistemi di equazioni è la stessa, ma da un punto di vista tecnico ci sono alcune caratteristiche di cui parleremo nei seguenti esempi.

Esempio 3. Risolvere il sistema di equazioni

Introduciamo una nuova variabile, quindi la prima equazione del sistema può essere riscritta in una forma più semplice: risolviamo questa equazione rispetto alla variabile t:

Entrambi questi valori soddisfano la condizione e quindi sono le radici di un'equazione razionale con variabile t. Ma questo significa o dove troviamo che x = 2y, oppure
Pertanto, utilizzando il metodo dell'introduzione di una nuova variabile, siamo riusciti a “stratificare” la prima equazione del sistema, apparentemente piuttosto complessa, in due equazioni più semplici:

x = 2y; y - 2x.

Qual è il prossimo? E poi ciascuna delle due semplici equazioni ottenute deve essere considerata a sua volta in un sistema con l'equazione x 2 - y 2 = 3, che non abbiamo ancora ricordato. In altre parole, il problema si riduce a risolvere due sistemi di equazioni:

Dobbiamo trovare soluzioni al primo sistema, al secondo sistema e includere nella risposta tutte le coppie di valori risultanti. Risolviamo il primo sistema di equazioni:

Usiamo il metodo di sostituzione, soprattutto perché qui è tutto pronto: sostituiamo l'espressione 2y invece di x nella seconda equazione del sistema. Noi abbiamo

Poiché x = 2y, troviamo rispettivamente x 1 = 2, x 2 = 2. Si ottengono così due soluzioni del sistema dato: (2; 1) e (-2; -1). Risolviamo il secondo sistema di equazioni:

Usiamo ancora il metodo di sostituzione: sostituiamo l'espressione 2x invece di y nella seconda equazione del sistema. Noi abbiamo

Questa equazione non ha radici, il che significa che il sistema di equazioni non ha soluzioni. Pertanto è necessario includere nella risposta solo le soluzioni del primo sistema.

Risposta: (2; 1); (-2;-1).

Il metodo per introdurre nuove variabili quando si risolvono sistemi di due equazioni con due variabili viene utilizzato in due versioni. Prima opzione: una nuova variabile viene introdotta e utilizzata in una sola equazione del sistema. Questo è esattamente quello che è successo nell'esempio 3. Seconda opzione: due nuove variabili vengono introdotte e utilizzate contemporaneamente in entrambe le equazioni del sistema. Questo sarà il caso dell’esempio 4.

Esempio 4. Risolvere il sistema di equazioni

Introduciamo due nuove variabili:

Teniamone conto allora

Questo ti permetterà di riscrivere il sistema dato in una forma molto più semplice, ma rispetto alle nuove variabili a e b:

Poiché a = 1, allora dall'equazione a + 6 = 2 troviamo: 1 + 6 = 2; 6=1. Quindi, per quanto riguarda le variabili a e b, abbiamo una soluzione:

Ritornando alle variabili xey, otteniamo un sistema di equazioni

Applichiamo il metodo dell'addizione algebrica per risolvere questo sistema:

Da allora dall'equazione 2x + y = 3 troviamo:
Quindi, per quanto riguarda le variabili xey, abbiamo una soluzione:

Concludiamo questo paragrafo con una conversazione teorica breve ma piuttosto seria. Hai già acquisito una certa esperienza nella risoluzione di varie equazioni: lineari, quadratiche, razionali, irrazionali. Sai che l'idea principale per risolvere un'equazione è passare gradualmente da un'equazione all'altra, più semplice, ma equivalente a quella data. Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto il concetto di equivalenza per equazioni a due variabili. Questo concetto viene utilizzato anche per i sistemi di equazioni.

Definizione.

Due sistemi di equazioni con variabili xey si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni o se entrambi i sistemi non hanno soluzioni.

Tutti e tre i metodi (sostituzione, addizione algebrica e introduzione di nuove variabili) discussi in questa sezione sono assolutamente corretti dal punto di vista dell'equivalenza. In altre parole, utilizzando questi metodi, sostituiamo un sistema di equazioni con un altro, più semplice, ma equivalente al sistema originale.

Metodo grafico per la risoluzione di sistemi di equazioni

Abbiamo già imparato come risolvere sistemi di equazioni in modi comuni e affidabili come il metodo di sostituzione, l'addizione algebrica e l'introduzione di nuove variabili. Ora ricordiamo il metodo che hai già studiato nella lezione precedente. Cioè, ripetiamo ciò che sai sul metodo di soluzione grafica.

Il metodo per risolvere graficamente i sistemi di equazioni prevede la costruzione di un grafico per ciascuna delle equazioni specifiche che sono incluse in un dato sistema e si trovano nello stesso piano di coordinate, nonché dove è necessario trovare le intersezioni dei punti di questi grafici. Per risolvere questo sistema di equazioni servono le coordinate di questo punto (x; y).

Va ricordato che è comune che un sistema grafico di equazioni abbia un'unica soluzione corretta, oppure un numero infinito di soluzioni, oppure non abbia alcuna soluzione.

Ora esaminiamo ciascuna di queste soluzioni in modo più dettagliato. E quindi, un sistema di equazioni può avere un’unica soluzione se le linee che costituiscono i grafici delle equazioni del sistema si intersecano. Se queste rette sono parallele, allora un tale sistema di equazioni non ha assolutamente soluzioni. Se i grafici diretti delle equazioni del sistema coincidono, allora un tale sistema consente di trovare molte soluzioni.

Bene, ora diamo un'occhiata all'algoritmo per risolvere un sistema di due equazioni in 2 incognite utilizzando un metodo grafico:

Per prima cosa costruiamo un grafico della prima equazione;
Il secondo passo sarà costruire un grafico relativo alla seconda equazione;
In terzo luogo, dobbiamo trovare i punti di intersezione dei grafici.
Di conseguenza, otteniamo le coordinate di ciascun punto di intersezione, che sarà la soluzione al sistema di equazioni.

Diamo un'occhiata a questo metodo in modo più dettagliato utilizzando un esempio. Ci viene dato un sistema di equazioni che deve essere risolto:

Risoluzione di equazioni

1. Innanzitutto, costruiremo un grafico di questa equazione: x2+y2=9.

Ma va notato che questo grafico delle equazioni sarà un cerchio con un centro nell'origine e il suo raggio sarà uguale a tre.

2. Il prossimo passo sarà rappresentare graficamente un'equazione come: y = x – 3.

In questo caso dobbiamo costruire una retta e trovare i punti (0;−3) e (3;0).

3. Vediamo cosa abbiamo ottenuto. Vediamo che la retta interseca il cerchio in due dei suoi punti A e B.

Ora cerchiamo le coordinate di questi punti. Vediamo che le coordinate (3;0) corrispondono al punto A e le coordinate (0;−3) corrispondono al punto B.

E cosa otteniamo di conseguenza?

I numeri (3;0) e (0;−3) ottenuti quando la retta interseca il cerchio sono proprio le soluzioni di entrambe le equazioni del sistema. E da ciò ne consegue che questi numeri sono anche soluzioni di questo sistema di equazioni.

Cioè, la risposta a questa soluzione sono i numeri: (3;0) e (0;−3).

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La risoluzione dei sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) è senza dubbio l'argomento più importante in un corso di algebra lineare. Un numero enorme di problemi di tutti i rami della matematica si riduce alla risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questi fattori spiegano il motivo di questo articolo. Il materiale dell'articolo è selezionato e strutturato in modo che con il suo aiuto tu possa

scegli il metodo ottimale per risolvere il tuo sistema di equazioni algebriche lineari,
studiare la teoria del metodo scelto,
risolvere il tuo sistema di equazioni lineari considerando soluzioni dettagliate ad esempi e problemi tipici.

Breve descrizione del materiale dell'articolo.

Innanzitutto, diamo tutte le definizioni, i concetti necessari e introduciamo le notazioni.

Successivamente, considereremo metodi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili incognite e che hanno un'unica soluzione. In primo luogo, ci concentreremo sul metodo di Cramer, in secondo luogo, mostreremo il metodo della matrice per risolvere tali sistemi di equazioni e, in terzo luogo, analizzeremo il metodo di Gauss (il metodo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute). Per consolidare la teoria, risolveremo sicuramente diversi SLAE in modi diversi.

Successivamente passeremo alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale, in cui il numero di equazioni non coincide con il numero di incognite o la matrice principale del sistema è singolare. Formuliamo il teorema di Kronecker-Capelli, che ci permette di stabilire la compatibilità degli SLAE. Analizziamo la soluzione dei sistemi (se compatibili) utilizzando il concetto di base minore di una matrice. Considereremo anche il metodo di Gauss e descriveremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.

Ci soffermeremo sicuramente sulla struttura della soluzione generale di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari. Diamo il concetto di sistema fondamentale di soluzioni e mostriamo come si scrive la soluzione generale di uno SLAE utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

In conclusione, considereremo sistemi di equazioni che possono essere ridotti a lineari, nonché vari problemi nella cui soluzione sorgono gli SLAE.

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Definizioni, concetti, designazioni.

Considereremo sistemi di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite (p può essere uguale a n) della forma

Variabili sconosciute, - coefficienti (alcuni numeri reali o complessi), - termini liberi (anche numeri reali o complessi).

Questa forma di registrazione si chiama SLAE coordinata.

IN forma matriciale scrivere questo sistema di equazioni ha la forma,
Dove - la matrice principale del sistema, - una matrice colonna di variabili incognite, - una matrice colonna di termini liberi.

Se aggiungiamo una colonna di matrice di termini liberi alla matrice A come (n+1)esima colonna, otteniamo la cosiddetta matrice estesa sistemi di equazioni lineari. Tipicamente, una matrice estesa è indicata con la lettera T e la colonna dei termini liberi è separata da una linea verticale dalle restanti colonne, ovvero

Risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari chiamato insieme di valori di variabili sconosciute che trasforma tutte le equazioni del sistema in identità. Anche l'equazione di matrice per dati valori delle variabili incognite diventa un'identità.

Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, allora viene chiamato giunto.

Se un sistema di equazioni non ha soluzioni, viene chiamato non congiunto.

Se uno SLAE ha una soluzione univoca, viene chiamato certo; se esiste più di una soluzione, allora – incerto.

Se i termini liberi di tutte le equazioni del sistema sono uguali a zero , quindi viene chiamato il sistema omogeneo, Altrimenti - eterogeneo.

Risoluzione di sistemi elementari di equazioni algebriche lineari.

Se il numero di equazioni di un sistema è uguale al numero di variabili sconosciute e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora tali SLAE verranno chiamati elementare. Tali sistemi di equazioni hanno un'unica soluzione e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte le variabili sconosciute sono uguali a zero.

Abbiamo iniziato a studiare tali SLAE alle scuole superiori. Nel risolverle, prendevamo un'equazione, esprimevamo una variabile sconosciuta in termini di altre e la sostituivamo nelle restanti equazioni, poi prendevamo l'equazione successiva, esprimevamo la variabile sconosciuta successiva e la sostituivamo in altre equazioni, e così via. Oppure usavano il metodo dell’addizione, cioè aggiungevano due o più equazioni per eliminare alcune variabili sconosciute. Non ci soffermeremo su questi metodi in dettaglio, poiché si tratta essenzialmente di modifiche del metodo di Gauss.

I principali metodi per risolvere sistemi elementari di equazioni lineari sono il metodo Cramer, il metodo delle matrici e il metodo di Gauss. Risolviamoli.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Supponiamo di dover risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari

in cui il numero di equazioni è pari al numero di variabili incognite e il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, cioè .

Sia il determinante della matrice principale del sistema, e - determinanti delle matrici che si ottengono da A per sostituzione 1°, 2°, …, ennesimo colonna rispettivamente alla colonna degli iscritti gratuiti:

Con questa notazione le variabili sconosciute vengono calcolate utilizzando le formule del metodo di Cramer as . Ecco come si trova la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Esempio.

Il metodo di Cramer .

Soluzione.

La matrice principale del sistema ha la forma . Calcoliamo il suo determinante (se necessario, vedi l'articolo):

Poiché il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, il sistema ha un’unica soluzione che può essere trovata con il metodo di Cramer.

Componiamo e calcoliamo i determinanti necessari (otteniamo il determinante sostituendo la prima colonna della matrice A con una colonna di termini liberi, il determinante sostituendo la seconda colonna con una colonna di termini liberi, e sostituendo la terza colonna della matrice A con una colonna di termini liberi) :

Trovare variabili sconosciute utilizzando le formule :

Risposta:

Lo svantaggio principale del metodo di Cramer (se può essere definito uno svantaggio) è la complessità del calcolo dei determinanti quando il numero di equazioni nel sistema è superiore a tre.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale (utilizzando una matrice inversa).

Sia dato un sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale, dove la matrice A ha dimensione n per n e il suo determinante è diverso da zero.

Poiché , la matrice A è invertibile, cioè esiste una matrice inversa. Se moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza per sinistra, otteniamo una formula per trovare una colonna di matrice di variabili sconosciute. In questo modo abbiamo ottenuto la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo della matrice.

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari metodo della matrice.

Soluzione.

Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Perché

quindi lo SLAE può essere risolto utilizzando il metodo della matrice. Utilizzando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come .

Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice da addizioni algebriche di elementi della matrice A (se necessario, vedere l'articolo):

Resta da calcolare la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa ad una colonna-matrice di membri liberi (se necessario, vedere l'articolo):

Risposta:

o in un'altra notazione x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Il problema principale quando si trovano soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, soprattutto per matrici quadrate di ordine superiore al terzo.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Supponiamo di dover trovare la soluzione ad un sistema di n equazioni lineari con n variabili incognite
il cui determinante della matrice principale è diverso da zero.

L'essenza del metodo Gauss consiste nell'esclusione sequenziale delle incognite: prima si esclude x 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, poi si esclude x 2 da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, fino alla sola variabile incognita x n rimane nell'ultima equazione. Questo processo di trasformazione delle equazioni del sistema per eliminare sequenzialmente le variabili sconosciute viene chiamato metodo gaussiano diretto. Dopo aver completato il tratto in avanti del metodo gaussiano, x n viene trovato dall'ultima equazione, utilizzando questo valore dalla penultima equazione, viene calcolato x n-1 e così via, x 1 viene trovato dalla prima equazione. Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima inverso del metodo gaussiano.

Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.

Lo assumeremo , poiché possiamo sempre ottenere questo risultato riorganizzando le equazioni del sistema. Eliminiamo l'incognita x 1 da tutte le equazioni del sistema, cominciando dalla seconda. Per fare questo, alla seconda equazione del sistema aggiungiamo la prima, moltiplicata per , alla terza equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e .

Saremmo arrivati allo stesso risultato se avessimo espresso x 1 in termini di altre variabili incognite nella prima equazione del sistema e avessimo sostituito l'espressione risultante in tutte le altre equazioni. Pertanto la variabile x 1 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.

Successivamente si procede in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, contrassegnato in figura

Per fare questo, alla terza equazione del sistema aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , alla quarta equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e . Pertanto la variabile x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza.

Successivamente si procede all'eliminazione dell'incognita x 3, mentre si procede analogamente con la parte del sistema segnata in figura

Continuiamo quindi la progressione diretta del metodo gaussiano finché il sistema non prende forma

Da questo momento iniziamo il metodo inverso del metodo gaussiano: calcoliamo x n dall'ultima equazione come , utilizzando il valore ottenuto di x n troviamo x n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo x 1 dalla prima equazione .

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari Metodo di Gauss.

Soluzione.

Escludiamo la variabile incognita x 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambi i membri della seconda e della terza equazione aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate rispettivamente per e per:

Ora eliminiamo x 2 dalla terza equazione aggiungendo ai suoi lati sinistro e destro i lati sinistro e destro della seconda equazione, moltiplicati per:

Questo completa la corsa in avanti del metodo Gauss; iniziamo la corsa inversa.

Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante troviamo x 3:

Dalla seconda equazione otteniamo .

Dalla prima equazione troviamo la restante variabile sconosciuta e completiamo così il procedimento inverso di Gauss.

Risposta:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

In generale, il numero di equazioni del sistema p non coincide con il numero di incognite n:

Tali SLAE potrebbero non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o infinite soluzioni. Questa affermazione vale anche per i sistemi di equazioni la cui matrice principale è quadrata e singolare.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Prima di trovare la soluzione ad un sistema di equazioni lineari è necessario stabilirne la compatibilità. La risposta alla domanda quando SLAE è compatibile e quando è incoerente è data da Teorema di Kronecker-Capelli:
Affinché un sistema di p equazioni con n incognite (p può essere uguale a n) sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice principale del sistema sia pari al rango della matrice estesa, cioè , Rango(A)=Rango(T).

Consideriamo, ad esempio, l'applicazione del teorema di Kronecker-Capelli per determinare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari.

Esempio.

Scopri se il sistema di equazioni lineari ha soluzioni.

Soluzione.

. Usiamo il metodo del confinamento dei minori. Minore del secondo ordine diverso da zero. Vediamo i minori del terzo ordine che lo confinano:

Poiché tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, il rango della matrice principale è pari a due.

A sua volta, il rango della matrice estesa è uguale a tre, poiché il minore è del terzo ordine

diverso da zero.

Così, Rang(A), quindi, utilizzando il teorema di Kronecker–Capelli, possiamo concludere che il sistema originale di equazioni lineari è incoerente.

Risposta:

Il sistema non ha soluzioni.

Abbiamo quindi imparato a stabilire l'incoerenza di un sistema utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli.

Ma come trovare una soluzione ad uno SLAE una volta accertata la sua compatibilità?

Per fare ciò abbiamo bisogno del concetto di base minore di una matrice e di un teorema sul rango di una matrice.

Si chiama il minore dell'ordine più alto della matrice A, diverso da zero di base.

Dalla definizione di base minore segue che il suo ordine è uguale al rango della matrice. Per una matrice A diversa da zero possono esserci più basi minori; esiste sempre una base minore.

Consideriamo ad esempio la matrice .

Tutti i minori del terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché gli elementi della terza riga di questa matrice sono la somma dei corrispondenti elementi della prima e della seconda riga.

I seguenti minori del secondo ordine sono fondamentali, poiché sono diversi da zero

Minori non sono fondamentali perché sono pari a zero.

Teorema del rango della matrice.

Se il rango di una matrice di ordine p per n è uguale a r, allora tutti gli elementi di riga (e colonna) della matrice che non formano la base minore scelta sono espressi linearmente in termini dei corrispondenti elementi di riga (e colonna) che formano la base minore.

Cosa ci dice il teorema del rango delle matrici?

Se, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, abbiamo stabilito la compatibilità del sistema, allora scegliamo una qualsiasi base minore della matrice principale del sistema (il suo ordine è uguale a r), ed escludiamo dal sistema tutte le equazioni che non lo fanno non costituiscono la base selezionata minore. Lo SLAE così ottenuto sarà equivalente a quello originale, poiché le equazioni scartate sono ancora ridondanti (secondo il teorema del rango di matrice, sono una combinazione lineare delle restanti equazioni).

Di conseguenza, dopo aver scartato le equazioni non necessarie del sistema, sono possibili due casi.

Se il numero di equazioni r nel sistema risultante è uguale al numero di variabili sconosciute, allora sarà definito e l'unica soluzione potrà essere trovata con il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Esempio.

Soluzione.

Rango della matrice principale del sistema è uguale a due, poiché il minore è del secondo ordine diverso da zero. Grado Matrix esteso è anch'esso uguale a due, poiché l'unico minore del terzo ordine è zero

e il minore di secondo ordine sopra considerato è diverso da zero. In base al teorema di Kronecker–Capelli possiamo affermare la compatibilità del sistema originale di equazioni lineari, poiché Rank(A)=Rank(T)=2.

Prendiamo come base minore . È formato dai coefficienti della prima e della seconda equazione:

La terza equazione del sistema non partecipa alla formazione della base minore, quindi la escludiamo dal sistema basato sul teorema sul rango della matrice:

È così che abbiamo ottenuto un sistema elementare di equazioni algebriche lineari. Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer:

Risposta:

x1 = 1, x2 = 2.

Se il numero di equazioni r nello SLAE risultante è inferiore al numero di variabili sconosciute n, allora sul lato sinistro delle equazioni lasciamo i termini che formano la base minore e trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro del equazioni del sistema di segno opposto.

Vengono chiamate le variabili incognite (r di esse) che rimangono sul lato sinistro delle equazioni principale.

Vengono chiamate le variabili sconosciute (ci sono n - r pezzi) che si trovano sul lato destro gratuito.

Ora crediamo che le variabili sconosciute libere possano assumere valori arbitrari, mentre le r variabili sconosciute principali saranno espresse attraverso variabili sconosciute libere in un modo unico. La loro espressione può essere trovata risolvendo lo SLAE risultante utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo Gauss.

Vediamolo con un esempio.

Esempio.

Risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Troviamo il rango della matrice principale del sistema con il metodo del confinamento dei minori. Prendiamo 1 1 = 1 come minore diverso da zero del primo ordine. Cominciamo a cercare un minore diverso da zero del secondo ordine confinante con questo minore:

È così che abbiamo trovato un minore diverso da zero del secondo ordine. Iniziamo la ricerca di un minore confinante diverso da zero del terzo ordine:

Pertanto, il rango della matrice principale è tre. Anche il rango della matrice estesa è pari a tre, ovvero il sistema è coerente.

Prendiamo come base il minore trovato diverso da zero del terzo ordine.

Per chiarezza riportiamo gli elementi che costituiscono la base minore:

Lasciamo i termini coinvolti nella base minore sul lato sinistro delle equazioni del sistema, e trasferiamo il resto con segni opposti sul lato destro:

Diamo alle variabili sconosciute libere x 2 e x 5 valori arbitrari, cioè accettiamo , dove sono numeri arbitrari. In questo caso la SLAE assumerà la forma

Risolviamo il sistema elementare risultante di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer:

Quindi, .

Nella risposta non dimenticare di indicare le variabili sconosciute libere.

Risposta:

Dove sono i numeri arbitrari.

Riassumere.

Per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari generali, determiniamo innanzitutto la sua compatibilità utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il rango della matrice principale non è uguale al rango della matrice estesa, allora concludiamo che il sistema è incompatibile.

Se il rango della matrice principale è uguale al rango della matrice estesa, selezioniamo una base minore e scartiamo le equazioni del sistema che non partecipano alla formazione della base minore selezionata.

Se l'ordine della base minore è uguale al numero di variabili sconosciute, allora lo SLAE ha un'unica soluzione, che può essere trovata con qualsiasi metodo a noi noto.

Se l'ordine della base minore è inferiore al numero di variabili sconosciute, sul lato sinistro delle equazioni del sistema lasciamo i termini con le principali variabili sconosciute, trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro e diamo valori arbitrari a le variabili sconosciute libere. Dal sistema di equazioni lineari risultante troviamo le principali variabili incognite utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Il metodo Gauss può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di qualsiasi tipo senza prima verificarne la coerenza. Il processo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute consente di trarre una conclusione sia sulla compatibilità che sull'incompatibilità dello SLAE e, se esiste una soluzione, rende possibile trovarla.

Dal punto di vista computazionale è preferibile il metodo gaussiano.

Vedi la sua descrizione dettagliata e gli esempi analizzati nell'articolo Metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari generali.

Scrivere una soluzione generale a sistemi algebrici lineari omogenei e disomogenei utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni.

In questa sezione parleremo di sistemi simultanei omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari che hanno un numero infinito di soluzioni.

Consideriamo innanzitutto i sistemi omogenei.

Sistema fondamentale di soluzioni sistema omogeneo di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite è un insieme di (n – r) soluzioni linearmente indipendenti di questo sistema, dove r è l'ordine della base minore della matrice principale del sistema.

Se denotiamo soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE omogeneo come X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) sono colonnari matrici di dimensione n per 1), allora la soluzione generale di questo sistema omogeneo è rappresentata come una combinazione lineare di vettori del sistema fondamentale di soluzioni con coefficienti costanti arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), che È, .

Cosa significa il termine soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (oroslau)?

Il significato è semplice: la formula specifica tutte le possibili soluzioni dello SLAE originale, in altre parole, prendendo qualsiasi insieme di valori delle costanti arbitrarie C 1, C 2, ..., C (n-r), utilizzando la formula che faremo ottenere una delle soluzioni dello SLAE omogeneo originale.

Pertanto, se troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, allora possiamo definire tutte le soluzioni di questo SLAE omogeneo come .

Mostriamo il processo di costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.

Selezioniamo la base minore del sistema originale di equazioni lineari, escludiamo tutte le altre equazioni dal sistema e trasferiamo tutti i termini contenenti variabili sconosciute libere ai membri di destra delle equazioni del sistema con segni opposti. Diamo alle variabili incognite libere i valori 1,0,0,...,0 e calcoliamo le principali incognite risolvendo il sistema elementare di equazioni lineari risultante in qualsiasi modo, ad esempio utilizzando il metodo Cramer. Ciò si tradurrà in X (1) - la prima soluzione del sistema fondamentale. Se diamo alle incognite libere i valori 0,1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (2) . E così via. Se assegniamo i valori 0.0,…,0.1 alle incognite libere e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (n-r) . In questo modo verrà costruito un sistema fondamentale di soluzioni di uno SLAE omogeneo e la sua soluzione generale potrà essere scritta nella forma .

Per sistemi disomogenei di equazioni algebriche lineari, la soluzione generale è rappresentata nella forma , dove è la soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo, ed è la soluzione particolare dello SLAE disomogeneo originale, che otteniamo dando alle incognite libere i valori 0,0,…,0 e calcolando i valori delle principali incognite.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio.

Trovare il sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Il rango della matrice principale dei sistemi omogenei di equazioni lineari è sempre uguale al rango della matrice estesa. Troviamo il rango della matrice principale utilizzando il metodo dei minori confinanti. Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 9 della matrice principale del sistema. Troviamo il minore confinante diverso da zero del secondo ordine:

È stato trovato un minore del secondo ordine, diverso da zero. Esaminiamo i minori del terzo ordine che lo delimitano alla ricerca di uno diverso da zero:

Tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice principale ed estesa è uguale a due. Prendiamo . Per chiarezza notiamo gli elementi del sistema che lo compongono:

La terza equazione della SLAE originaria non partecipa alla formazione della base minore, pertanto si può escludere:

Lasciamo i termini contenenti le incognite principali sul lato destro delle equazioni e trasferiamo i termini con incognite libere sul lato destro:

Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo originale di equazioni lineari. Il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE è costituito da due soluzioni, poiché lo SLAE originale contiene quattro variabili sconosciute e l'ordine della sua base minore è pari a due. Per trovare X (1), diamo alle variabili sconosciute libere i valori x 2 = 1, x 4 = 0, quindi troviamo le principali incognite dal sistema di equazioni
.

Lezione e presentazione sull'argomento: "Sistemi di equazioni. Metodo di sostituzione, metodo di addizione, metodo di introduzione di una nuova variabile"

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Metodi per la risoluzione di sistemi di diseguaglianze

Ragazzi, abbiamo studiato sistemi di equazioni e imparato a risolverli utilizzando i grafici. Ora vediamo quali altri modi esistono per risolvere i sistemi?
Quasi tutti i metodi per risolverli non sono diversi da quelli che abbiamo studiato in seconda media. Ora dobbiamo apportare alcune modifiche in base alle equazioni che abbiamo imparato a risolvere.
L'essenza di tutti i metodi descritti in questa lezione è sostituire il sistema con un sistema equivalente con una forma e una soluzione più semplici. Ragazzi, ricordate cos'è un sistema equivalente.

Metodo di sostituzione

Il primo modo per risolvere sistemi di equazioni con due variabili ci è ben noto: questo è il metodo di sostituzione. Abbiamo utilizzato questo metodo per risolvere equazioni lineari. Ora vediamo come risolvere le equazioni nel caso generale?

Come dovresti procedere quando prendi una decisione?
1. Esprimi una delle variabili in termini di un'altra. Le variabili più spesso utilizzate nelle equazioni sono x e y. In una delle equazioni esprimiamo una variabile in termini di un'altra. Suggerimento: osserva attentamente entrambe le equazioni prima di iniziare a risolverle e scegli quella in cui è più semplice esprimere la variabile.
2. Sostituisci l'espressione risultante nella seconda equazione, invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione che abbiamo ottenuto.
4. Sostituisci la soluzione risultante nella seconda equazione. Se sono presenti più soluzioni, è necessario sostituirle in sequenza per non perdere un paio di soluzioni.
5. Di conseguenza, riceverai una coppia di numeri $(x;y)$, che devono essere scritti come risposta.

Esempio.
Risolvi un sistema con due variabili utilizzando il metodo di sostituzione: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Soluzione.
Diamo uno sguardo più da vicino alle nostre equazioni. Ovviamente, esprimere y in termini di x nella prima equazione è molto più semplice.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Sostituiamo la prima espressione nella seconda equazione $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Risolviamo separatamente la seconda equazione:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Abbiamo ottenuto due soluzioni della seconda equazione $x_1=2$ e $x_2=3$.
Sostituisci in sequenza nella seconda equazione.
Se $x=2$, allora $y=3$. Se $x=3$, allora $y=2$.
La risposta sarà due coppie di numeri.
Risposta: $(2;3)$ e $(3;2)$.

Metodo dell'addizione algebrica

Abbiamo studiato questo metodo anche in seconda media.
È noto che possiamo moltiplicare un'equazione razionale in due variabili per qualsiasi numero, senza dimenticare di moltiplicare entrambi i lati dell'equazione. Abbiamo moltiplicato una delle equazioni per un certo numero in modo che quando aggiungiamo l'equazione risultante alla seconda equazione del sistema, una delle variabili venga distrutta. Quindi l'equazione è stata risolta per la variabile rimanente.
Questo metodo funziona ancora, sebbene non sia sempre possibile distruggere una delle variabili. Ma ti consente di semplificare in modo significativo la forma di una delle equazioni.

Esempio.
Risolvi il sistema: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Soluzione.
Moltiplichiamo la prima equazione per 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Sottraiamo la seconda dalla prima equazione.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Come puoi vedere, la forma dell'equazione risultante è molto più semplice di quella originale. Ora possiamo utilizzare il metodo di sostituzione.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Esprimiamo x in termini di y nell'equazione risultante.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Abbiamo ottenuto $y=-1$ e $y=-3$.
Sostituiamo questi valori in sequenza nella prima equazione. Otteniamo due coppie di numeri: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.
Risposta: $(1;-1)$ e $(-1;-3)$.

Metodo per introdurre una nuova variabile

Abbiamo studiato anche questo metodo, ma vediamolo di nuovo.

Esempio.
Risolvi il sistema: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Soluzione.
Introduciamo la sostituzione $t=\frac(x)(y)$.
Riscriviamo la prima equazione con una nuova variabile: $t+\frac(2)(t)=3$.
Risolviamo l'equazione risultante:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Abbiamo $t=2$ o $t=1$. Introduciamo la modifica inversa $t=\frac(x)(y)$.
Abbiamo ottenuto: $x=2y$ e $x=y$.

Per ciascuna delle espressioni, il sistema originale deve essere risolto separatamente:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Abbiamo ricevuto quattro coppie di soluzioni.
Risposta: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Esempio.
Risolvi il sistema: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(casi)$.

Soluzione.
Introduciamo la sostituzione: $z=\frac(2)(x-3y)$ e $t=\frac(3)(2x+y)$.
Riscriviamo le equazioni originali con nuove variabili:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Usiamo il metodo dell'addizione algebrica:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Introduciamo la sostituzione inversa:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Usiamo il metodo di sostituzione:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Risposta: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Problemi su sistemi di equazioni a soluzione indipendente

Risolvere i sistemi:
1. $\begin(casi)2x-2y=6,\\xy =-2\end(casi)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ fine(casi)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.