Теория вероятности кто. Теория вероятности формулы и примеры решения задач

Классификация событий на возможные, вероятные и случайные. Понятия простого и сложного элементарного события. Операции над событиями. Классическое определение вероятности случайного события и её свойства. Элементы комбинаторики в теории вероятностей. Геометрическая вероятность. Аксиомы теории вероятностей.

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом , или испытанием , понимается осуществление определённого комплекса условий.

Примеры событий:

Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие - выпадание трех очков на первой игральной кости, событие - выпадание трех очков на второй кости. и - совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие - наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие - коробка окажется с обувью коричневого цвета, и - несовместные события.

Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная - невозможным.

Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. - появление красного шара при одном извлечении, - появление белого шара, - появление шара с номером. События образуют полную группу совместных событий.

Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие . Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным - событие , либо бракованным - событие .

Операции над событиями

При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Сумма событий обозначается так:

Например, если событие есть попадание в цель при первом выстреле, событие - при втором, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично, при каком выстреле - первом, втором или при обоих вместе.

Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Произведение событий обозначается

Например, если событие есть попадание в цель при первом выстреле, событие - при втором, то событие состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.

Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие состоит в попадании точки в область , событие - в попадании в область , тогда событие состоит в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 1, и событие - в попадании точки в область, заштрихованную на рис. 2.

Классическое определение вероятности случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.

Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число , число случаев , благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по формуле (1.1).

Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Свойства вероятности

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию , то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления , так как в этом случае

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае :

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события :

где - число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события :

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , то размещением (сочетанием) из элементов по называется любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножество элементов множества . При размещение называется перестановкой из элементов.

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются , , , , , ; сочетаниями - , , .

Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов по вычисляется по формуле

есть число размещений из элементов по ; - число перестановок из элементов.

Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. равно - числу сочетаний из 10 элементов по 6. Число исходов, благоприятствующих событию (среди 6 взятых деталей ровно 4 стандартных), определяем так: 4 стандартные детали можно взять из 7 стандартных деталей способами; при этом остальные детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно . Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

Статистическое определение вероятности

Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.

В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.

Пусть на плоскости задана некоторая область площадью , в которой содержится другая область площадью (рис. 3). В область наудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области , и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная - в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень - событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.

Решение. Обозначим - "выстрел попал в сектор, окрашенный в зелёный цвет". Тогда . Вероятность получена как отношение площади части мишени, окрашенной в зелёный цвет, ко всей площади мишени, поскольку попадания в любые части мишени равновозможны.

Аксиомы теории вероятностей

Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

Аксиома 1. Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью , равной, например, ½, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную ценность имеют те результаты теории вероятностей, которые позволяют утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность не наступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие научный и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или не наступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также сказать, что теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Предмет теории вероятностей.

Для описания закономерной связи между некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, например, имеют все законы классической механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

б) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P (A / S), равную р. Так, например, законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся какое-либо число N атомов.

Назовем частотой события А в данной серии из n испытаний (то есть из n повторных осуществлений условий S) отношение h = m/n числа m тех испытаний, в которых А наступило, к общему их числу n. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистические закономерности рождения, смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.

Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о которых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей.

Наиболее просто определяются основные понятия теории вероятностей как математической дисциплины в рамках так называемой элементарной теории вероятностей. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной теорией вероятностей, таково, что оно заканчивается одним и только одним из событий E1, E2,..., ES (тем или иным, в зависимости от случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходом Ek связывается положительное число рк - вероятность этого исхода. Числа pk должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А, заключающиеся в том, что "наступает или Ei, или Ej,..., или Ek". Исходы Ei, Ej,..., Ek называются благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность Р (А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов:

P (A) = pi + ps + … + pk. (1)

Частный случай p1 = p2 =... ps = 1/S приводит к формуле

Р (А) = r/s. (2)

Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению числа r исходов, благоприятствующих А, к числу s всех "равновозможных" исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие "вероятности" к понятию "равновозможности", которое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i, j), где i - число очков, выпадающее на первой кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию А - "сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2), (3; 1). Следовательно, Р (A) = 3/36 = 1/12.

Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В называется объединением событий A 1, A 2,..., Ar,-, если оно имеет вид: "наступает или A1, или А2,..., или Ar".

Событие С называется совмещением событий A1, А.2,..., Ar, если оно имеет вид: "наступает и A1, и A2,..., и Ar". Объединение событий обозначают знаком È, а совмещение - знаком Ç. Таким образом, пишут:

B = A1 È A2 È … È Ar, C = A1 Ç A2 Ç … Ç Ar.

События А и В называют несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две основные теоремы В. т. - теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события A1, A2,..., Ar таковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В - "сумма очков не превосходит 4", есть объединение трёх несовместных событий A2, A3, A4, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятность Р (В)равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Условную вероятность события В при условии А определяют формулой

что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A1, A2,..., Ar называются независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его "безусловной" вероятности

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A1, A2,..., Ar равна вероятности события A1,умноженной на вероятность события A2, взятую при условии, что А1 наступило,..., умноженной на вероятность события Ar при условии, что A1, A2,..., Ar-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит к формуле:

P (A1 Ç A2 Ç … Ç Ar) = P (A1) Ї P (A2) Ї … Ї P (Ar), (3)

то есть вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях некоторые из событий заменить на противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

Каждый исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2Ї2Ї2Ї2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н. н, н) следует положить равной 0,2Ї0,8Ї0,8Ї0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = 1-0,2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию "в цель попадают три раза" благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у). (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:

0,2Ї0,2Ї0,2Ї0,8 =...... =0,8Ї0,2Ї0,2Ї0,2 = 0,0064;

следовательно, искомая вероятность равна

4Ї0,0064 = 0,0256.

Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из основных формул теории вероятностей: если события A1, A2,..., An независимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно m из них равна

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

здесь Cnm обозначает число сочетаний из n элементов по m. При больших n вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности

Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа

причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 £ m £ 32 практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем теории вероятностей.

К числу основных формул элементарной теории вероятностей относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1, A2,..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме

Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний T1, T2,..., Tn-1, Tn, есликаждый исход испытания Т есть совмещение некоторых исходов Ai, Bj,..., Xk, Yl соответствующих испытаний T1, T2,..., Tn-1, Tn. Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

Раздел 12. Теория вероятностей.

1. Введение

2. Простейшие понятия теории вероятностей

3. Алгебра событий

4. Вероятность случайного события

5. Геометрические вероятности

6. Классические вероятности. Формулы комбинаторики.

7. Условная вероятность. Независимость событий.

8. Формула полной вероятности и формулы Байеса

9. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и её асимптотика

10. Случайные величины (СВ)

11. Ряд распределения ДСВ

12. Интегральная функция распределения

13. Функция распределения НСВ

14. Плотность вероятности НСВ

15. Числовые характеристики случайных величин

16. Примеры важных распределений СВ

16.1. Биномиальное распределение ДСВ.

16.2. Распределение Пуассона

16.3. Равномерное распределение НСВ.

16.4. Нормальное распределение.

17. Предельные теоремы теории вероятностей.

Введение

Теория вероятностей, подобно многим другим математическим дисциплинам, развивалась из потребностей практики. При этом, изучая реальный процесс, приходилось создавать абстрактную математическую модель реального процесса. Обычно учитывают главные, наиболее существенные движущие силы реального процесса, отбрасывая из рассмотрения второстепенные, которые называются случайными. Конечно, что считать главным, а что второстепенным,- отдельная задача. Решение этого вопроса определяет уровень абстракции, простоту или сложность математической модели и уровень адекватности модели реальному процессу. В сущности, любая абстрактная модель является результатом двух противостоящих устремлений: простоты и адекватности реальности.

Например, в теории стрельбы разработаны достаточно простые и удобные формулы для определения траектории полёта снаряда из орудия, расположенного в точке (рис. 1).

В определённых условиях упомянутая теория является достаточной, например, при массированной артподготовке.

Однако ясно, что если из одного орудия при одинаковых условиях произвести несколько выстрелов, то траектории будут хотя и близкими, но все же отличающимися. И если размер цели мал по сравнению с областью рассеивания, то возникают специфические вопросы, связанные именно с влиянием факторов, неучтённых в рамках предлагаемой модели. При этом учёт дополнительных факторов приведёт к слишком сложной модели, пользоваться которой практически невозможно. К тому же, этих случайных факторов бывает много, природа их чаще всего неизвестна.

В приведённом примере такими специфическими вопросами, выходящими за рамки детерминированной модели, являются, например, следующие: сколько надо произвести выстрелов, чтобы с определённой уверенностью (например, на ) гарантировать поражение цели? как надо провести пристрелку, чтобы на поражение цели затратить наименьшее количество снарядов? и т.п.

Как мы увидим в дальнейшем, слова «случайный», «вероятность» станут строгими математическими терминами. Вместе с тем они весьма распространены в обычной разговорной речи. При этом считается, что прилагательное «случайный» является противопоставлением «закономерному». Однако, это не так, ибо природа устроена таким образом, что случайные процессы обнаруживают закономерности, но при определённых условиях.

Основное условие называется массовостью.

Например, если подбросить монету, то нельзя предсказать, что выпадает, герб или цифра,- можно лишь угадать. Однако, если эту монету подбросить большое число раз, что доля выпадений герба будет не сильно отличается от некоторого числа, близкого к 0,5 (в дальнейшем это число мы назовем вероятностью). Причем, с увеличением числа подбрасываний отклонение от этого числа будет уменьшаться. Это свойство называется устойчивостью средних показателей (в данном случае - доли гербов). Надо сказать, что на первых шагах теории вероятностей, когда надо было на практике убедиться в наличии свойства устойчивости, даже большие учёные не считали за труд провести самостоятельно проверку. Так, известен опыт Бюффона, который подбросил монету 4040 раз, и герб выпал 2048 раз, следовательно, доля (или относительная частота) выпадения герба равна 0,508, что близко интуитивно к ожидаемому числу 0,5.

Поэтому обычно даётся определение предмета теории вероятностей как раздела математики, изучающего закономерности массовых случайных процессов.

Надо сказать, что, несмотря на то, что наибольшие достижения теории вероятностей относятся к началу прошлого века, в особенности благодаря аксиоматическому построению теории в работах А.Н. Колмогорова (1903-1987), интерес к изучению случайностей проявился давно.

Сначала интересы были связаны с попытками применить числовой подход к азартным играм. Первые достаточно интересные результаты теории вероятностей принято связывать с работами Л. Пачоли (1494г), Д. Кардано (1526) и Н. Тартальи (1556).

Позже Б. Паскаль (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), Х. Гюйгенс (1629-1695) заложили основы классической теории вероятностей. В начале 18 века Я. Бернулли (1654-1705) формирует понятие вероятности случайного события как отношение числа благоприятствующих шансов к числу всех возможных. На использовании понятия меры множества строили свои теории Э. Борель (1871-1956), А. Ломницкий (1881-1941), Р. Мизес (1883-1953).

Теоретико-множественная точка зрения в наиболее законченном виде была изложена в 1933г. А.Н. Колмогоровым в его монографии «Основные понятия теории вероятностей». Именно с этого момента теория вероятностей становится строгой математической наукой.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские математики П.Л. Чебышёв (1821-1894), А.А. Марков (1856-1922), С.Н. Бернштейн (1880-1968) и другие.

Теория вероятностей бурно развивается и в настоящее время.

Простейшие понятия теории вероятностей

Как любая математическая дисциплина, теория вероятностей начинается с введения простейших понятий, которые не определяются, а лишь поясняются.

Одним из основных первичных понятий является опыт. Под опытом понимается некоторый комплекс условий, которые могут воспроизводиться неограниченное число раз. Каждую реализацию этого комплекса и назовем опытом или испытанием. Результаты опыта могут быть различными, в этом и проявляется элемент случайности. Различные результаты или исходы опыта называются событиями (точнее случайными событиями). Таким образом, при осуществлении опыта может произойти то или иное событие. Другими словами, случайное событие – это исход опыта, который при осуществлении опыта может произойти (появиться) или не произойти.

Опыт будем обозначать буквой , а случайные события обозначаются обычно заглавными буквами

Часто в опыте можно заранее выделить его исходы, которые можно назвать простейшими, которые нельзя разложить на более простые. Такие события называются элементарными событиями (или случаями).

Пример 1. Пусть подбрасывается монета. Исходами опыта являются: выпадение герба (обозначим это событие буквой ); выпадение цифры (обозначим ). Тогда можно записать: опыт ={подбрасывание монеты}, исходы: Ясно, что элементарные события в данном опыте. Иначе говоря, перечисление всех элементарных событий опыта полностью его описывает. По этому поводу будем говорить, что опыт есть пространство элементарных событий, и в нашем случае опыт кратко можно записать в виде: ={подбрасывание монеты}={Г;Ц}.

Пример 2 . ={монета подбрасывается дважды}= Здесь приведено словесное описание опыта и перечисление всех элементарных событий: означает, что сначала при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором – тоже герб; означает, что при первом подбрасывании монеты выпал герб, при втором цифра и т.д.

Пример 3. В системе координат в квадрат бросаются точки. В этом примере элементарными событиями являются точки с координатами которые удовлетворяют приведенным неравенствам. Кратко это записывается следующим образом:

Двоеточие в фигурных скобках означает, что состоит из точек но не любых, а только тех, которые удовлетворяют условию (или условиям), указанным после двоеточия (в нашем примере это неравенства).

Пример 4. Монета подбрасывается до первого выпадения герба. Другими словами, подбрасывание монеты продолжается до тех пор, пока не выпадет герб. В этом примере элементарные события перечислить можно, хотя их бесконечное число:

Заметим, что в примерах 3 и 4 пространство элементарных событий насчитывает бесконечное число исходов. В примере 4 их можно перечислить, т.е. пересчитать. Такое множество называется счетным. В примере 3 пространство является несчетным.

Введем в рассмотрение еще два события, которые присутствуют в любом опыте и которые имеют большое теоретические значение.

Назовем событие невозможным, если в результате опыта оно обязательно не произойдет. Будем его обозначать знаком пустого множества . Наоборот, событие, которое в результате опыта обязательно произойдёт называется достоверным. Достоверное событие обозначается так же, как и само пространство элементарных событий – буквой .

Например, при подбрасывании игральной кости событие {выпало меньше 9 очков} - достоверное, а событие {выпало ровно 9 очков} невозможное.

Итак, пространство элементарных событий может задаваться словесным описанием, перечислением всех его элементарных событий, заданием правил или условий, по которым получаются все его элементарные события.

Алгебра событий

До сих пор мы говорили лишь об элементарных событиях как непосредственных результатах опыта. Однако в рамках опыта можно говорить и о других случайных событиях, кроме элементарных.

Пример 5. При подбрасывании игральной кости, кроме элементарных событий выпадений соответственно единицы, двойки,…, шестерки, можно говорить о других событиях: (выпадение четного числа), (выпадение нечетного числа), (выпадение числа, кратного трем), (выпадение числа, меньшего 4) и т.п. В данном примере указанные события, кроме словесного задания, можно задать перечислением элементарных событий:

Образование новых событий из элементарных, а также из других событий осуществляется с помощью операций (или действий) над событиями.

Определение. Произведением двух событий и называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет и событие ,и событие , т. е произойдут оба события вместе (одновременно).

Знак произведения (точку) часто не ставят:

Определение. Суммой двух событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта произойдет или событие ,или событие ,или оба вместе (одновременно).

В обоих определениях мы намеренно подчеркнули союзы и и или -сцелью привлечь внимание читателя к своей речи при решении задач. Если мы произносим союз «и», то речь идет о произведении событий; если произносится союз «или», то события надо складывать. При этом заметим что союз «или» в обиходной речи часто используется в смысле исключения одного из двух: «только или только ». В теории вероятностей такое исключение не предполагается: и ,и , и означают появление события

Если задано перечислением элементарных событий, то сложные события с помощью указанных операций получить просто. Для получения надо найти все элементарные события, принадлежащие обоим событиям, если таковых нет, то Сумму событий также составить несложно: надо взять любое из двух событий и добавить к нему те элементарные события из другого события, которые не входят в первое.

В примере 5 получаем, в частности

Введенные операции называются бинарными, т.к. определены для двух событий. Большое значение имеет следующая унарная операция (определенная для одного события): событие называется противоположным событию если оно состоит в том, что в данном опыте событие не произошло. Из определения ясно, что всякое событие и ему противоположное обладают следующими свойствами: Введённая операция называется дополнением события А.

Отсюда следует, что если задано перечислением элементарных событий, то, зная задание события ,легко получить оно состоит из всех элементарных событий пространства которые не принадлежат В частности, для примера 5 событие

Если нет скобок, то устанавливается следующий приоритет в выполнении операций: дополнение, умножение, сложение.

Итак, с помощью введённых операций пространство элементарных событий пополняется другими случайными событиями, которые образуют так называемую алгебру событий.

Пример 6. По мишени стрелок произвёл три выстрела. Рассмотрим события = {стрелок попал в мишень при i-м выстреле}, i = 1,2,3.

Составим из этих событий (не забудем и о противоположных ) некоторые события. Пространных комментариев не приводим; полагаем, что читатель проведёт их самостоятельно.

Событие В = {все три выстрела попали в мишень}. Подробнее: В = {и первый, и второй, и третий выстрелы попали в мишень}. Использовали союз и, следовательно, события перемножаются:

Аналогично:

С = {ни один из выстрелов не попал в цель}

Е = {один выстрел достиг мишени}

Д = {мишень поражена при втором выстреле} = ;

F = {мишень поражена двумя выстрелами}

Н = {в мишени окажется хотя бы одно попадание}

Как известно, в математике большое значение имеет геометрическая интерпретация аналитических объектов, понятий и формул.

В теории вероятностей удобно наглядное представление (геометрическая интерпретация) опыта, случайных событий и операций над ними в виде так называемых диаграмм Эйлера-Венна . Суть состоит в том, что всякий опыт отождествляется (интерпретируется) с бросанием точек в некоторый квадрат. Точки бросаются наугад, так что у всех точек имеются одинаковые шансы попасть в любое место этого квадрата. Квадрат определяет рамки рассматриваемого опыта. Каждое событие в рамках опыта отождествляется с некоторой областью квадрата. Иначе говоря, осуществление события означает попадание случайной точки внутрь области, обозначенной буквой Тогда операции над событиями легко интерпретируются геометрически (рис.2)

А:

А + В: всякая

штриховка

На рис.2 а) для наглядности событие А выделено вертикальной штриховкой, событие В - горизонтальной. Тогда операции умножения соответствует двойная штриховка - событию соответствует та часть квадрата которая покрыта двойной штриховкой. При этом, если то и называются несовместными событиями. Соответственно операции сложения соответствует любая штриховка- событие означает часть квадрата, заштрихованная любой штриховкой – вертикальной, горизонтальной и двойной. На рис.2 б) показано событие ему соответствует заштрихованная часть квадрата - все, что не входит в область Введенные операции обладают следующими основными свойствами, некоторые из которых справедливы для одноименных операций над числами, но есть и специфические.

1 0 . коммутативность умножения;

2 0 . коммутативность сложения;

3 0 . ассоциативность умножения;

4 0 . ассоциативность сложения,

5 0 . дистрибутивность умножения относительно сложения,

6 0 . дистрибутивность сложения относительно умножения;

9 0 . законы двойственности де Моргана,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Пример 7. Иван и Петр договорились встретиться на временном промежутке в Т час, например, (0,Т). При этом они условились, что каждый из них, придя на встречу, ждет другого не более час.

Придадим этому примеру геометрическую интерпретацию. Обозначим: время прихода на встречу Ивана; время прихода на встречу Петра. Согласно договоренности: 0 . Тогда в системе координат получаем: = Нетрудно заметить, что в нашем примере пространство элементарных событий представляет собой квадрат. 1

0 x соответствует та часть квадрата, которая расположена выше этой прямой.Аналогично, второму неравенству y≤x+ и; и не работает, если не работают все элементы, т.е. .Таким образом, второй закон двойственности де Моргана: реализуется при параллельном соединении элементов.

Приведённый пример показывает, почему теория вероятностей находит большое применение в физике, в частности, в расчетах надежности реальных технических устройств.

ВВЕДЕНИЕ

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы;
но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий.
Козьма Прутков

Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчеты, для формирования и развития логического мышления.

В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики "Основы теории вероятностей и математической статистики", предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования (Министерство образования Российской Федерации. М., 2002г.), формулируются основные теоремы, большая часть которых не доказывается. Рассматриваются основные задачи и методы их решения и технологии применения этих методов к решению практических задач. Изложение сопровождается подробными комментариями и многочисленными примерами.

Методические указания могут быть использованы для первичного ознакомления с изучаемым материалом, при конспектировании лекций, для подготовки к практическим занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков. Кроме того, пособие будет полезно и студентам- старшекурсникам как справочное пособие, позволяющее быстро восстановить в памяти то, что было изучено ранее.

В конце работы приведены примеры и задания, которые студенты могут выполнять в режиме самоконтроля.

Методические указания предназначены для студентов заочной и дневной форм обучения.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира.

В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых невозможно предсказать, результат которых зависит от случая.

Случайное явление можно охарактеризовать отношением числа его наступлений к числу испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Математическая статистика - это раздел математики, который имеет своим предметом изучения методов сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

При этом под статистическими данными понимается совокупность чисел, которые представляют количественные характеристики интересующих нас признаков изучаемых объектов. Статистические данные получаются в результате специально поставленных опытов, наблюдений.

Статистические данные по своей сущности зависят от многих случайных факторов, поэтому математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

I. ВЕРОЯТНОСТЬ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания .

Предварительно познакомимся с понятием факториала .

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут .

Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

в) .

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Р n , где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation - перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

или с помощью факториала:

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

Размещения.

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m - число всех имеющихся элементов, n - число элементов в каждой комбинации. (А- первая буква французского слова arrangement , что означает "размещение, приведение в порядок").

При этом полагают, что nm.

Число размещений можно вычислить по формуле

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m .

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

Сочетания.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n , которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n- натуральные числа, причем n m ).

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются (С -первая буква французского слова combination - сочетание).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n , деленному на число перестановок из n элементов:

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами.

Находим по первой формуле

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

(по определению полагают и );

1.2. Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов.

Задача 5. Найти , если известно, что .

Так как , то получим

По определению сочетания следует, что , . Т.о. .

1.3. Понятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения называется событием .

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным . В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным .

События называются несовместными , если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными , если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными , если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, : .

Полной системой событий А 1 , А 2 , А 3 , : , А n называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют А и Д, В и С .

Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

1.4. Классическое определение вероятности

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. .

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n .

Из этого определения вытекают следующие свойства:

Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n , получим

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.

Подсчитаем число m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А 1 +А 2 + : +А n .

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.

Следствие 1. Если событие А 1 , А 2 , : ,А n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.

Задача 1. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение. Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Задача 2. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С . Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С .

Простейшим примером связи между двумя событиями служит причинная связь, когда наступление одного из событий обязательно приводит к наступлению другого, или наоборот, когда наступление одного исключает возможность наступления другого.

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Пусть А и В - два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число .

Обозначив условную вероятность , получим формулу

, .

Задача 1. Вычислить вероятность того, что в семье, где есть один ребенок- мальчик, родится второй мальчик.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в семье два мальчика, а событие В - что один мальчик.

Рассмотрим все возможные исходы: мальчик и мальчик; мальчик и девочка; девочка и мальчик; девочка и девочка.

Тогда , и по формуле находим

Событие А называется независимым от события В , если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А .

Теорема умножения вероятностей

Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле

Задача 2. В первой урне находится 6 черных и 4 белых шара, во второй- 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

А и В есть событие АВ . Следовательно,

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А - выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

До появления теории вероятностей как общепризнанной теории в науке господствовал детерминизм, согласно которому осуществление определенного комплекса условий однозначно определяет результат. Классическим примером является механика. Например, на основании законов небесной механики по известному в некоторый момент положению планет Солнечной системы могут быть очень точно предсказаны солнечные и лунные затмения. Подобные законы называются детерминированными законами.

Однако практика показала, что этот подход далеко не всегда применим. Не все явления макромира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что наши знания о нем непрерывно уточняются и углубляются. Еще менее детерминированы законы и закономерности микромира.

Математические законы теории вероятностей отражают реальные статистические законы, объективно существующие в массовых случайных явлениях.

Теория вероятностей развивалась вначале как прикладная дисциплина. В связи с этим ее понятия и выводы имели окраску тех областей знаний, в которых они были получены.

В работах Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстрова, А.Н. Колмогорова представлены основные этапы развития теории вероятностей. Для краткости приведем их в виде таблицы.

Таблица 1

Этапы развития теории вероятностей

Название этапа	Основные понятия	Источники становления и развития
Предыстория теории вероятностей, до конца XVI века	Равновозможные (равновероятные) исходы, принцип - «не более так, чем иначе», вероятностное знание, вероятностные рассуждения	Решение элементарных задач, философия, азартные игры
Возникновение теории вероятностей как науки, с XVII века до начала XVIII века.	Количественная оценка возможности наступления случайного события, представления о частоте события, математическом ожидании и о теоремах сложения и умножения, формулы комбинаторики	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения.
Период формирования основ теории вероятностей, с 1713 г. до середины XIX века	Классическое и статистическое определения вероятности, геометрические вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, закон больших чисел, математическое ожидание, формула Бернулли, теорема Бейеса, случайная величина	Демография, страховое дело, оценка ошибок наблюдения, естествознание
Русская - Петербургская школа, со второй половины XIX века до XX века	Предельные теоремы, теория случайных процессов, обобщение закона больших чисел, метод моментов	Контроль качества продукции, естествознание т.д.
Современный этап развития теории вероятностей, XX - XXI века	Аксиоматическое построение теории вероятностей, частотная интерпретация вероятности, стационарные случайные процессы, и т.д.	Внутренние потребности самой математики, статистическая физика, теория информации, теория случайных процессов, астрономия, биология, генетика, и т.д.

Представленные в таблице источники становления отражают потребности практики, которые стали толчком к развитию теории вероятностей.

Философия к 17 веку накопила довольно богатый материал, который оказал влияние на зарождение и первый период развития теории вероятностей. Главным же источником зарождения теории вероятностей является практика. Необходимость создания математического аппарата для анализа случайных явлений, вытекала из потребностей обработки и обобщения статистического материала. Однако теория вероятностей сформировалась, не только на материале практических задач: эти задачи слишком сложны. Более простым и удобным материалом для изучения закономерностей случайных явлений оказались азартные игры. На базе азартных игр наряду с основными понятиями развивались и методы теории вероятностей.

Зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мере (1607-1648), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662) с вопросами к задаче об очках. До нас дошли два знаменитых вопроса де Мере к Паскалю: 1) сколько раз надо бросить две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний; 2) как справедливо разделить поставленные на кон деньги, если игроки прекратили игру преждевременно? Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые исходные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Непосредственное практическое применение вероятностные методы нашли, прежде всего, в задачах страхования. С тех пор теория вероятностей находит все более широкое применение в различных областях.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б.Паскаль и П.Ферма и голландский ученый Х.Гюйгенс (1629-1695). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы.

Крупный шаг в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654?1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей? закона больших чисел. Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую называют «свойством устойчивости частот при большом числе опытов». Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу?вероятности этого исхода. Яков Бернулли впервые дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту. Теорема Якова Бернулли? простейшая форма закона больших чисел? устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Другой важный этап в развитии теории вероятностей связан с именем Моавра (1667?1754). Этот ученый впервые ввел в рассмотрение и для простейшего случая обосновал закон, очень часто наблюдаемый в случайных явлениях: так называемый нормальный закон (закон Гаусса).

Нормальный закон играет исключительно важную роль в случайных явлениях. Теоремы, обосновывающие этот закон для тех или иных условий, носят в теории вероятностей общее название «центральной предельной теоремы».

Стройное и систематическое изложение основ теории вероятностей впервые дал знаменитый математик Лаплас (1749?1827). Он доказал одну из форм центральной предельной теоремы (теоремы Моавра? Лапласа) и развил ряд замечательных приложений теории вероятностей к вопросам практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Значительный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с именем Гаусса (1777?1855), который дал еще более общее обоснование нормальному закону и разработал метод обработки экспериментальных данных, известный под названием «метода наименьших квадратов».

Следует отметить работы Пуассона (1781?1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Для всего XVIII и начала XIX века характерны бурное развитие теории вероятностей и повсеместное увлечение ею. Теория вероятностей становится «модной» наукой. Ее начинают применять не только там, где применение правомерно, но и там, где оно ничем не оправдано.

Для этого периода характерны многочисленные попытки применить теорию вероятностей к изучению общественных явлений, к так называемым «моральным» или «нравственным» наукам. Во множестве появились работы, посвященные вопросам судопроизводства, истории, политики, даже богословия, в которых применялся аппарат теории вероятностей. Для всех этих псевдонаучных исследований характерен чрезвычайно упрощенный, механический подход к рассматриваемым в них общественным явлениям. В основу рассуждения полагаются некоторые произвольно заданные вероятности (например, при рассмотрении вопросов судопроизводства склонность каждого человека к правде или лжи оценивается некоторой постоянной, одинаковой для всех людей вероятностью), и далее общественная проблема решается как простая арифметическая задача.

Естественно, что все подобные попытки были обречены на неудачу и не могли сыграть положительной роли в развитии науки. Напротив, их косвенным результатом оказалось то, что примерно в двадцатых? тридцатых годах XIX века в Западной Европе повсеместное увлечение теорией вероятностей сменилось разочарованием и скептицизмом. На теорию вероятностей стали смотреть как на науку сомнительную, второсортную, род математического развлечения, вряд ли достойный серьезного изучения.

Замечательно, что именно в это время в России создается та знаменитая Петербургская математическая школа, трудами которой теория вероятностей была поставлена на прочную логическую и математическую основу и сделана надежным, точным и эффективным методом познания. Со времени появления этой школы развитие теории вероятностей уже тесным образом связано работами русских, а в дальнейшем? советских ученых.

Среди ученых Петербургской математической школы следует назвать В. Я. Буняковского (1804?1889) ? автора первого курса теории вероятностей на русском языке, создателя современной русской терминологии в теории вероятностей, автора оригинальных исследований в области статистики и демографии.

Учеником В. Я. Буняковского был великий русский математик П. Л. Чебышев (1821?1894), которому принадлежит дальнейшее расширение и обобщение закона больших чисел. Кроме того, П. Л. Чебышев ввел в теорию вероятностей весьма мощный и плодотворный метод моментов.

Учеником П. Л. Чебышева был А. А. Марков (1856?1922), который существенно расширил область применения закона больших чисел и центральной предельной теоремы, распространив их не только на независимые, но и на зависимые опыты. Важнейшей заслугой А. А. Маркова явилось то, что он заложил основы совершенно новой ветви теории вероятностей? теории случайных, или «стохастических», процессов. Развитие этой теории составляет основное содержание новейшей, современной теории вероятностей.

Учеником П. Л. Чебышева был и А. М. Ляпунов (1857?1918), с именем которого связано первое доказательство центральной предельной теоремы при чрезвычайно общих условиях. Для доказательства своей теоремы А. М. Ляпунов разработал специальный метод характеристических функций, широко применяемый в современной теории вероятностей.

Характерной особенностью работ Петербургской математической школы была исключительная четкость постановки задач, полная математическая строгость применяемых методов и наряду с этим тесная связь теории с непосредственными требованиями практики. Трудами ученых Петербургской математической школы теория вероятностей была выведена с задворков науки и поставлена как полноправный член в ряд точных математических наук. Условия применения ее методов были строго определены, а самые методы доведены до высокой степени совершенства.

Советская школа теории вероятностей, унаследовав традиции Петербургской математической школы, занимает в мировой науке ведущее место. Назовем только некоторых крупнейших советских ученых, труды которых сыграли решающую роль в развитии современной теории вероятностей и ее практических приложений.

С. Н. Бернштейн разработал первую законченную аксиоматику теории вероятностей, а также существенно расширил область применения предельных теорем.

А. Я. Хинчин (1894?1959) известен своими исследованиями в области дальнейшего обобщения и усиления закона больших чисел, но главным образом своими исследованиями в области стационарных случайных процессов.

Ряд важнейших основополагающих работ в различных областях теории вероятностей и математической статистики принадлежит А. Н. Колмогорову. Он дал наиболее совершенное аксиоматическое построение теории вероятностей, связав ее с одним из важнейших разделов современной математики? метрической теорией функций. Особое значение работы А. Н. Колмогорова имеют в области теории случайных функций (стохастических процессов), которые в настоящее время являются основой всех исследований в данной области. Работы А. Н. Колмогорова, относящиеся к оценке эффективности легли в основу целого нового научного направления в теории стрельбы, переросшего затем в более широкую науку об эффективности боевых действий.

В. И. Романовский и Н. В. Смирнов известны своими работами в области математической статистики, Е. Е. Слуцкий? в теории случайных процессов, Б. В. Гнеденко? в области теории массового обслуживания, Е. Б. Дынкин? в области марковских случайных процессов, В. С. Пугачев? в области случайных процессов в применении к задачам автоматического управления.

Развитие зарубежной теории вероятностей в настоящее время также идет усиленными темпами в связи с настоятельными требованиями практики. Преимущественным вниманием пользуются, как и у нас, вопросы, относящиеся к случайным процессам. Значительные работы в этой области принадлежат Н. Винеру, В. Феллеру, Д. Дубу. Важные работы по теории вероятностей и математической статистике принадлежат Р. Фишеру, Д. Нейману и Г. Крамеру.

Теория вероятностей, подобно другим разделам математики, развилась из потребностей практики, и абстрактно она отражает закономерности в массовых случайных событиях. Эти закономерности играют очень важную роль в различных областях естествознания, медицине, технике, экономике, военном деле. Многие разделы теории вероятностей были развиты благодаря запросам практики.